DRAFT 2 CORCORAN ON "SCHEMA" IN SPANISH (Trad. del Dr. Jesús Jasso Méndez)

DRAFT 2

CORCORAN ON "SCHEMA" IN SPANISH

Esquema[1]

John Corcoran

Traductor: Jesús Jasso Méndez (UACM-UNAM, México)

Revisión: Claudio Conforti Carlomagno (UNSTA, Buenos Aires) y Abraham Ávila Tello (UNAM, México)

Un esquema (plural: esquemata, o esquemas) también conocido como scheme[2] (plural: schemes) es un "molde", "marco", o "patrón" lingüístico relacionado con una regla a fin de especificar una multitud potencialmente infinita de frases, oraciones, o argumentos, denominadas instancias del esquema. En lógica los esquemas son utilizados para especificar reglas de inferencia, en matemáticas para describir teorías con un número infinito de axiomas, y en semántica para ofrecer condiciones de adecuación a las definiciones de verdad.

1. ¿Qué es un Esquema?

2. Usos de los Esquemas.

3. El Estatus Ontológico de los Esquemas.

4. Los Esquemas en la Historia de la Lógica.

5. Bibliografía.

6. Herramientas Académicas.

7. Otros recursos de internet.

8. Entradas relacionadas.

1. ¿Qué es un Esquema?

Un esquema es un sistema complejo constituido por:

1.  un molde de texto o un molde de esquema: es una serie sintáctica compuesta por palabras y/o símbolos significativos así como por marcadores de posición (letras, números cerrados, elipses, expresiones de números ordinales como 'la primera' y 'segunda', etc.), y

2. una condición auxiliar[3] la cual especifica cómo deben llenarse los marcadores de posición para obtener instancias y, en algunas ocasiones, especifica cómo las palabras o símbolos significativos deben entenderse (Tarski 1933/1983: 155, Church, 1956: 172). 

Eventualmente se añade un tercer componente:

3. un lenguaje (formal o natural).

Pero esto es redundante si el lenguaje de las instancias se especifica por la condición auxiliar.

Entre los esquemas mejor conocidos está el esquema V[4] de Tarski, cuyo molde de texto es la serie de ocho palabras con dos elipsis en los extremos:

... es una oración verdadera si y sólo si ....

La condición auxiliar señala que el segundo espacio en blanco sea llenado con una oración (declarativa) del español[5] y el primer espacio con un nombre de tal oración (Tarski 1993/1983: 155). La siguiente serie es una instancia:

'Cero es uno' es una oración verdadera si y sólo si cero es uno.

Las instancias más reveladoras se obtienen mediante el uso de una oración cuya verdad y falsedad se desconocen:

'todo número perfecto es par ' es una oración verdadera si y sólo si todo número perfecto es par.

La oración de dieciséis palabras:[6]

O bien el cero es par o no es el caso que el cero sea par.

es una instancia del esquema de la oración del tercero excluido del español, el cual implica el molde:

O bien A o no es el caso que A.

La condición auxiliar indica: i. las dos apariciones de  a  se deben llenar conforme a la presencia de la misma oración declarativa bien formada del español; ii. la expresión no continua 'O bien...o...' expresa la disyunción no exclusiva clásica y; iii. las cinco palabras de la oración prefijo 'no es el caso que'[7] expresan la negación clásica.  Tómese en cuenta que este molde de esquema no es una oración del español. En estricto sentido, sería incoherente utilizarlo como una oración en un intento de afirmación. También sería un error decir que tal molde de esquema fuese verdadero o falso, aunque este pueda ser caracterizado como válido o inválido considerando sentidos apropiados de estas palabras ambiguas.

Algunos lógicos parecen identificar al esquema con el molde únicamente. (La redacción de Tarski en 1983: 155-6 sugiere esta identificación, mientras la redacción de Church 1956:149  parece estar calculada para evitarla). Sin embargo, uno y el mismo molde de esquema puede ser un componente de cualquier número diferente de esquemas dependiendo de la condición auxiliar o del lenguaje subyacente. Adicionalmente, si consideramos que diferentes caracteres o series pueden utilizarse como marcadores de posición (véase más arriba) y dado que en sentido estricto, un cambio notacional produce una serie sintáctica diferente (Corcoran et al. 1974), entonces uno y el mismo conjunto de instancias puede ser determinado mediante combinaciones diferentes del par molde de esquema/condición auxiliar; aun considerando un lenguaje fijo dado. Este hecho podría explicar por qué algunos autores identifican en sus trabajos al esquema con el conjunto de instancias. Para muchos propósitos es el conjunto de instancias especificadas lo que tiene primordial importancia y la cuestión de qué es exactamente lo que está implicado en su especificación es considerado como un mero tecnicismo.

Algunas veces, (como en el caso del esquema del tercero excluido, arriba señalado) los espacios en blanco en un esquema están marcados por letras. Es importante tener en mente la distinción entre, por una parte, una oración abierta tal como '(x + y) = (y + x)', cuyo alcance de las variables numéricas equis y ye del lenguaje objeto se extiende sobre los números y, por otra parte, un esquema como el esquema número-conmutatividad teórica cuyo molde de texto es ‘(X + Y) = (Y + X)’. En este último caso, la condición auxiliar indica que las dos apariciones de equis deben ser sustituidas por dos apariciones de uno y el mismo numeral, y del mismo modo para las dos apariciones de ye. Los numerales pertenecen al lenguaje objeto, mientras los marcadores de posición pertenecen al metalenguaje. El rango de las variables en el lenguaje objeto se extiende sobre un dominio de objetos, mientras las 'letras vacías'[8] en el modelo de texto son sólo marcadores de posición para sustituyentes sintácticos. (Para una exposición cuidadosa de esta distinción, véase Quine 1945: secc. 1).

Los esquemas pueden clasificarse por el tipo sintáctico de sus instancias como esquemas de oración, esquemas suboracionales, o esquemas argumento de texto. Ya hemos visto dos ejemplos de esquemas de oración. La serie:

el sucesor de A

es el molde de texto para un esquema suboracional, donde la condición auxiliar especifica que la letra  a  debe sustituirse por un numeral arábigo. La descripción definida:

el sucesor de 9

sería una instancia del caso anterior. Tómese en cuenta que este esquema es muy diferente del término abierto:

el sucesor de x,

donde la equis es una variable del lenguaje objeto. El esquema es esencialmente un medio para generar instancias sintácticas. La 'letra vacía'  a  en su molde de texto es sólo un marcador de posición para sustituyentes (en este caso, numerales). La equis en el término abierto, por el contrario, es una variable cuyo rango se extiende sobre objetos (en este caso, números).

Un esquema de argumento de texto es un esquema cuyas instancias son argumentos de texto. Un argumento de texto es un sistema de dos partes compuesto por un conjunto de oraciones llamadas las premisas y una única oración llamada la conclusión. (Un argumento es lo expresado por un argumento de texto, en la misma medida en que una proposición es expresada por una oración.) De las diferentes maneras de presentar un argumento de texto tal vez la menos abierta a una interpretación incorrecta es el formato premisa-línea-conclusión, el cual consiste en enlistar las premisas seguidas por una línea, la cual a su vez es seguida por la conclusión. Por ejemplo:

Todo círculo es un polígono.

Todo triángulo es un círculo.

Todo cuadrado es un triángulo.

-------------------------------------

Todo cuadrado es un polígono.

Un ejemplo de un esquema argumento de texto es la regla de inferencia modus ponens:

A

Si A entonces B

-------------------------

B

La condición auxiliar especifica que a y be se sustituyen por oraciones declarativas del español y que ambas apariciones de a (y del mismo modo para be) se sustituyen por la misma oración o fórmula.

Los esquemas de axiomas pueden considerarse como esquemas de argumentos de texto de cero premisas.

2. Usos de los Esquemas

Los esquemas son utilizados en la formalización lógica, matemática y semántica. En lógica, los esquemas son utilizados para especificar los axiomas y las reglas de inferencia de un sistema. Por ejemplo, una formalización de la lógica de primer orden (en Shapiro 1991: 65) establece que:

Un axioma es cualquier fórmula obtenida al sustituir formulas por las letras griegas:

Φ → (Ψ → Φ)
(Φ → (Ψ → Ξ) → ((Φ → Ψ) → (Φ → Ξ))
(¬ Φ → ¬ Ψ) → (Ψ → Φ)
∀xΦ(x) → Φ(t)

donde t es un término libre para x en Φ,

y además cualquier inferencia de la forma:

Φ        
Φ → Ψ

Ψ

o (donde x no aparece libre en Φ)

Φ → Ψ(x) Φ → ∀xΨ(x),

es válida.

Algunas teorías matemáticas pueden ser axiomatizadas finitamente en un lenguaje de primer orden, pero ciertas teorías de números históricamente importantes y teorías de conjuntos no. Los axiomas de estas teorías pueden algunas veces especificarse utilizando esquemas. Por ejemplo, el principio de inducción en la teoría de números de primer orden se especifica utilizando el esquema:

[F(0) & ∀x((Num(x) & F(x)) → F(sx)] → ∀x(Num(x) → F(x))

donde los dos espacios en blanco marcados con 'F(x)' deberán llenarse con una fórmula de primer orden que tiene una o más apariciones libres de la variable equis, el espacio en blanco marcado con 'F(0)' deberá llenarse con la misma fórmula después de cada aparición libre de equis que ha sido sustituida por una aparición de '0', y el espacio en blanco etiquetado con 'F(sx)' se llenará con la misma fórmula después de cada aparición libre de equis que ha sido sustituida mediante una aparición de ese-equis.

Por ejemplo, si llenamos los dos espacios en blanco marcados con 'F(x)' con ‘x≠sx ’, tenemos:

[0≠s0 & ∀x((Num(x) & x≠sx) → sx≠ssx)] →
    ∀x(Num(x) → x≠sx)

Utilizando el español como el lenguaje objeto subyacente, el siguiente molde de texto podría utilizarse:

Si cero es F y el sucesor de todo número que es F también es F, entonces todo número es F,

donde las cuatro apariciones de efe han de llenarse con uno y el mismo predicado aritmético (e.g. 'ser menor que algún primo').

En una formalización de segundo orden de la teoría de números, por el contrario, un único axioma de inducción puede darse:

∀F {[F(0) & ∀x((Num(x) & F(x)) → F(sx)] →
    ∀x(Num(x) → F(x))}

Para toda F, si cero es F y el sucesor de todo número que es F también es F, entonces todo número es F.

Aquí  F no es un marcador de posición en un esquema, sino una variable genuina la cual se extiende sobre propiedades o clases (o, en algunas interpretaciones, se extiende  pluralmente sobre individuos). Para comparar las formalizaciones de la lógica de primer orden y de segundo orden, véase Corcoran 1998.

Las similitudes ortográficas entre el esquema de inducción de primer orden y el axioma de inducción de segundo orden tienen una desafortunada tendencia a oscurecer las importantes diferencias entre ellos. El axioma de inducción de segundo orden es una oración en el lenguaje, mientras que el esquema de inducción de primer orden sólo es un medio para generar oraciones. Estos dos casos tampoco son equivalentes inferencialmente: el conjunto de instancias del esquema de inducción de primer orden es lógicamente más hueco que el axioma de inducción de segundo orden. Esto es, hay oraciones de la aritmética de primer orden que pueden deducirse desde el axioma de inducción de segundo orden (junto con los otros axiomas de la aritmética, los cuales son comunes a la aritmética de primer y segundo orden) pero no desde las instancias del esquema de inducción de primer orden (véase Shapiro 1991: 110).

Los esquemas también han desempeñado un papel prominente en semántica. Tarski sostuvo que una instancia de su 'esquema-V'[9] (al cual llama un 'esquema') podría considerarse como una "definición parcial de verdad", o más que eso de "oración verdadera":

El esquema general de este tipo de oración puede ser representado de la siguiente manera:

(2) x es una oración verdadera si y sólo si p.

Con el fin de obtener definiciones concretas sustituimos en este esquema al símbolo 'p' por una oración cualquiera, y sustituimos a  'x' por cualquier nombre singular de esta oración. (Tarski 1983: 155-6)

Tarski entendió esto como un criterio de adecuación para una definición de 'oración verdadera' para un lenguaje que tiene todas estas 'definiciones parciales' como consecuencias (Tarski 1983: 187-8).

3. El Estatus Ontológico de los Esquemas

Es importante  tener claro el estatus ontológico mixto de los esquemas. El molde de texto del esquema es un objeto sintáctico, una serie de caracteres y tiene las mismas presuposiciones ontológicas de los numerales, las palabras, las fórmulas y casos similares.  Por ejemplo, el molde de texto para el esquema de nombrar en el español ―'La expresión ... nombra la entidad ....'― es una expresión de treinta y ocho caracteres la cual incluye veintiséis apariciones de letras,[10] seis apariciones de espacio y siete apariciones del periodo. Por otra parte, la condición auxiliar es una entidad intensional comparable a una proposición.

Un molde de esquema es una serie tipo teniendo un número indefinido de casos en el sentido de Peirce (Pierce 1906; Corcoran et al. 1974: 638 n. 5). Pero ninguno de los casos de un molde de esquema son instancias del esquema. De hecho, toda instancia de un esquema es una serie tipo teniendo sus propios casos. La palabra 'instancia' es un sustantivo de relación con respecto a ciertas relaciones de series tipo, que conducen a ciertos esquemas. La palabra 'caso' es un sustantivo de relación respecto a una relación de ciertos objetos físicos macroscópicos que conducen a ciertos objetos abstractos. Ni un esquema ni un molde esquema son sustantivos comunes que denotan a las instancias, tampoco son nombres propios de un conjunto de instancias.

Algunos filósofos hacen énfasis en las economías ontológicas posibles  mediante el uso de esquemas en lugar de axiomas de segundo orden (e.g. Quine 1970/1986). Sin embargo, rara vez estos filósofos presentan una discusión completa y objetiva de los "compromisos ontológicos" implicados al usar esquemas, suponiendo que en alguna ocasión lo hicieran. Por ejemplo, la teoría de números per se presupone la existencia de números, y tal vez funciones numéricas y propiedades numéricas, pero esta no presupone la existencia de la notación matemática y tampoco presupone a fortiori la existencia del amplio sistema notacional complejo que llamamos el lenguaje de la teoría de números. Algunas veces el uso de esquemas puede disminuir los compromisos ontológicos del lenguaje objeto al tiempo que aumenta los del metalenguaje, o al menos no consigue una clara economía.

4. Los Esquemas en la Historia de la Lógica

En la Academia de Platón, la palabra griega 'esquema'  se utilizó para "figura [geométrica]" y en el Liceo de Aristóteles para "figura [silogística]". Aunque las figuras silogísticas de Aristóteles o "esquemata" no eran esquemas en el sentido moderno, fueron modos de Aristóteles. Por ejemplo, el molde de texto del modo BABARA es:

P pertenece a toda M.

M pertenece a toda S.

P pertenece a toda S.

La condición auxiliar asociada es: (1) las dos apariciones de pe deberán llenarse con las apariciones de uno y el mismo sustantivo común, (2) las dos apariciones de eme deben llenarse con apariciones de uno y el mismo sustantivo común, diferente al utilizado por pe, (3) las dos apariciones de ese deben llenarse con apariciones de uno y el mismo sustantivo común, diferente a los utilizados por pe y eme  y,  (4) la expresión 'pertenece a todo' se toma para expresar la predicación universal afirmativa como en los Primeros Analíticos. Véase Corcoran 2009. Las reglas de la lógica proposicional estoica se han tomado como esquemas.

Es difícil hasta la fecha un uso consciente de la palabra 'esquema' en su sentido moderno. En la Introducción a la Filosofía Matemática de Russell (1919) se utiliza esquema casualmente para describir las funciones proposicionales: "Una función proposicional ... puede tomarse como un mero esquema, un mero armazón, un recipiente vacío de significado, no es algo ya significativo" (157). Pero las funciones proposicionales no son esquemas sintácticos en el sentido moderno. El artículo sobre la definición de verdad de Tarski (1933) (Tarski 1933/1983, 157, 160, 172) fue una de las primeras publicaciones prominentes que usa la palabra 'esquema' en un sentido cercano al de este artículo (Tarski 1933/1983: 155, 156). Tarski también usa la palabra 'esquema' y su plural 'esquemata' en el periodo previo a la Segunda Guerra Mundial  (1983, 63-64, 114, 310, 386, 423).

A principios del siglo XX en las formalizaciones lógicas era común utilizar una regla de sustitución y un conjunto finito de axiomas en lugar de esquemas. Church (1956: 158) le otorga reconocimiento a von Neumann con "el mecanismo de utilizar esquemas de axioma," lo cual hace a la regla de sustitución innecesaria (algo notoriamente difícil de señalar).

Como Church ha enfatizado (e.g. 1956: 59) el tratamiento metamatemático de los esquemas requiere el uso de lenguajes formalizados o lógicamente perfectos y una teoría axiomatizada de series, como se encuentra por primera vez en el artículo sobre la definición de verdad de Tarski (1933) (1983: 152-256). Para más detalles sobre la historia, la filosofía y la matemática de este importante pero un poco descuidado campo, véase Corcoran et al. 1974; Corcoran 2006, Corcoran, J., 2009, ‘Aristotle's Demonstrative Logic’, History and Philosophy of Logic, 30:1–20.

Bibliografía

·         Church, A., 1956, Introduction to Mathematical Logic, Princeton: Princeton University Press.

·         Corcoran, J., 1998, ‘Second-order Logic’. In Anderson, C.A. and Zeleny, M., Eds., Logic, Meaning, and Computation: Essays in Memory of Alonzo Church, Dordrecht: Kluwer, 1998.

·         –––, et al., 1974, ‘String theory,’; Journal of Symbolic Logic, 39: 625–637.

·         –––, 2006, ‘Schemata: the Concept of Schema in the History of Logic,’ Bulletin of Symbolic Logic, 12: 219–40.

·         –––, 2009, ‘Aristotle's Demonstrative Logic’, History and Philosophy of Logic, 30:1–20.

·         –––, 2012, ‘Expressions in Tarski's Logic, Semantics, and Metamathematics,’, Bulletin of Symbolic Logic, 18: 140.

·         Feferman, A. and S. Feferman, 2004, Alfred Tarski: Life and Logic, Cambridge: Cambridge University Press.

·         Feferman, S. and G. Jäger, 1983, ‘Choice principles, the bar rule and autonomously iterated comprehension schemes in analysis,’ Journal of Symbolic Logic, 48: 63–70.

·         Horsten, L., 2011, The Tarskian Turn: Deflationism and Axiomatic Truth, Cambridge, MA: MIT Press.

·         Kleene, S.C., 1967, Mathematical Logic, New York: Wiley and Sons; reprinted, New York: Dover, 2002.

·         Peirce, C., 1906, ‘Prolegomena to an Apology for Pragmaticism,’ Monist, 16: 492–546.

·         Quine, W. V., 1945, ‘On the Logic of Quantification,’; Journal of Symbolic Logic 10: 1–12.

·         –––, 1970, Philosophy of logic, Cambridge MA: Harvard University Press, reprinted 1983.

·         Russell, B., 1919, Introduction to Mathematical Philosophy, London: George Allen and Unwin.

·         Shapiro, S., 1991, Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic, Oxford: Oxford University Press.

·         Tarski, A., 1933, ‘The concept of truth in the languages of the deductive sciences’ (Polish), Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-Fizycznych, 34, Warsaw; reprinted in Zygmunt 1995: 13-172; expanded English translation in Tarski 1983: 152-278.

·         –––, 1983, Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, edited with introduction and analytic index by John Corcoran, Indianapolis: Hackett Publishing Company.

·         van Heijenoort, J., 1967, From Frege to Gödel, Cambridge MA: Harvard University Press.

·         Zygmunt, J. (ed.), 1995, Alfred Tarski, Pisma Logiczno-Filozoficzne, 1 Prawda, Warsaw: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Glosario

Blank: espacio en blanco.

Dummy letters: letras vacías.

Ellipsis: elipsis.

Frame: marco.

Instance: instancia.

Pattern: patrón.

Placeholders: marcadores de posición.

Schema-template: molde de esquema.

Side condition: condición auxiliar.

String: serie.

Template: molde.

Template-text: molde de texto.

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[1] Este artículo fue originalmente publicado con el título: "Schema" en The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2014 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = .

[2]  En los países de habla hispana la palabra ‘scheme’ no es de uso común. En español se utiliza la palabra 'esquema' sin considerar la posibilidad de 'esqueme'. Conservo intacta la palabra 'scheme' de acuerdo con el artículo original asumiendo su intercambiabilidad con 'schema'.

[3] Utilizo la expresión ‘una condición auxiliar’ para referirme a lo designado por la expresión en inglés ‘a side condition’. Una posibilidad más sería usar la expresión ‘una condición lateral’ la cual se acerca por mucho a la traducción literal de ‘a side condition’. Sin embargo, 'una condición lateral' no alude a la relación auxiliar presupuesta por la expresión original en inglés correspondiente -entre molde de texto y condición. En esta versión española privilegio lo designado por 'a side condition' en el artículo original i.e. i. especificaciones de llenado y ii. interpretación de términos; para determinar la expresión correspondiente en español. La expresión ‘condición auxiliar’ nos permite establecer entonces la relación existente entre un molde de texto y una condición cuyo propósito será ofrecer criterios para la interpretación de dicho molde.

[4] Texto original: "...schemaT..."

[5] En estos casos se ha sustituido la expresión original “…of English…” mediante la expresión “…del español...” i.e. el artículo original incluye “The side condition requires that the second blank is to be filled in with a (declarative) sentence of English and..." tal expresión se ha traducido como: “La condición auxiliar exige que el segundo espacio en blanco sea llenado con una oración (declarativa) del español”. En casos subsiguientes cuando aparezca la expresión “del español” deben considerarse como casos análogos.

[6] Considerando la estructura sintáctica del español existen variaciones respecto al inglés en el número de palabras y/o posiciones consideradas en algunos ejemplos de oraciones. En este caso, el artículo original considera la oración  ‘Either zero is even or it is not the case that zero is even’, la cual en efecto es una oración formada por catorce palabras tal y como el artículo original lo señala: “…The fourteen-word sentence…” La traducción en español utiliza dieciséis palabras: ‘’O bien el cero es par o no es el caso que el cero sea par’. Por esa razón la expresión original anterior a dicha oración “The fourteen-word sentence…” se modificará utilizando la expresión en español: “La oración de dieciséis palabras…”

Este tipo de variaciones se presentarán también en algunos casos más adelante. En estos casos, a pie de página incluiré la leyenda 'Texto original' y citaré la versión en inglés correspondiente. Por ejemplo,

Texto original: “The fourteen-word sentence

Either zero is even or it is not the case that zero is even."

[7] Texto original: "...and that the six-word sentence-prefix ‘it is not the case that’;..."

[8] Texto original: 'dummy letters'.

[9] Texto original: ‘T-schema’.

[10] Texto original: "...the template-text for the English naming schema, ‘The expression … names the entity ….’; is a forty-character expression involving twenty-seven letter-occurrences,..."