NUEVOS PARADIGMAS DE
En este artículo presento una nueva visión del desarrollo pasado y posible
de la ciencia lógica. Para apoyar mi enfoque paso una breve revista a la
dinámica del desarrollo histórico de esta disciplina y extrapolo hacia un
futuro cercano.(2) Al final ofrezco una
nueva noción de inferencia y una nueva noción de racionalidad.
Introducción.
La lógica es un ingrediente de la racionalidad, necesario aunque no
suficiente. Al cambiar nuestra noción de la inferencia lógica, podemos esperar
un cambio correspondiente en nuestra noción de racionalidad. En cierto sentido
la lógica no cambia; en otro sentido lo hace continuamente. No cambia en el
sentido de que el Modus Tollens y el silogismo disyuntivo son tan
ciertos hoy como en los días de Crisipo.(3) Cambia en sus
estilos, énfasis, descubrimientos y problemas.
En la primera sección de este trabajo señalaremos algunos cambios que la
lógica ha tenido en su historia. Mostraremos que los intereses han cambiado y
continúan cambiando. Los nuevos usos de los sistemas lógicos llevan de manera
natural a construir nuevos sistemas, expandiendo así nuestra noción de
racionalidad. Esta expansión no es ilimitada aunque bien puede ser infinita. Es
decir, hay infinitas formas o tipos de ser lógico, y por ende puede haber
infinitas formas o tipos de ser racional. Pero también hay infinitas maneras de
pensar y procesar información que no pueden ser rescatadas por ningún sistema
lógico sensato, infinitas maneras irreductiblemente irracionales. El que haya
un sin fin de formas sensatas no hace sensata a cualquier forma.
En la segunda sección identificaremos algunos de los presupuestos
contemporáneos sobre la racionalidad, para comprender mejor los supuestos que
la lógica actual está reexaminando. En la concepción actual, para que ser
lógico un agente debe ser deductivamente infalible al grado de nunca necesitar
la revisión de sus inferencias o conclusiones, y perfectamente consistente. Sus
recursos deben ser ilimitados, y sus inferencias fuera del tiempo o
sincrónicas, así como fuera de los constreñimientos espaciales. Además, se
supone que somos lógicamente omniscientes y que debemos razonar sin atender al
contexto de discurso. Todos estos presupuestos son puestos en duda hoy día.
En la tercera sección señalaremos cómo es probable que cambien esos
presupuestos para basar nuevas lógicas y nuevas teorías de la racionalidad en
los años venideros. El mundo cambia y los agentes crean, por lo que debemos a
veces modificar nuestras creencias sin que haya falta imputable a nosotros.
Sabemos que la información que obtenemos puede estar equivocada, o ser
contradictoria o incompleta. Además, al procesarla puede ser racional saltar a
conclusiones para no ser demasiado lento. En suma, aunque para ser racional hay
que ser lógico, se puede ser lógico sin ser infalible. No necesitamos excluir
el riesgo de tener que revisar nuestras inferencias o nuestras conclusiones. Ni
siquiera es indispensable ser siempre consistentes o tener recursos ilimitados.
Podemos manejar lógicamente recursos limitados, diacrónicos, localizados y
contextualizados. Y no necesitamos ser lógicamente omniscientes para ser
racionales.
Si una tarea parece irresoluble en su
plena generalidad,
provisionalmente se la ha de limitar
pues, tal vez,
En su historia la lógica ha tenido muchos y variados usos. La mayoría de
ellos los pasaré en silencio pero mencionaré algunos que me parecen cruciales
para entender la evolución de la noción de logicalidad en las principales
etapas de la historia de la lógica.
Entre los griegos la lógica fue la cristalización de una noción de
racionalidad argumentativa. La silogística peripatética y la lógica
proposicional estoica respondían tanto a preocupaciones ontológicas sobre la
naturaleza de las cosas, como a una necesidad inmediata de construir y destruir
argumentos. El uso retórico hizo de la lógica tanto una teoría de la
argumentación, como un arte de discurrir y dialogar. Una persona racional debía
poder estructurar bien su discurso.(6)
El discurso más importante en la antigüedad clásica era el discurso
legal y político, los alegatos que podían salvar o perder propiedades y vidas.
Por ejemplo, el ciudadano ateniense que deseaba defenderse o demandar en
persona (no, como hoy día, por boca de terceros), podía pagar a un experto en
técnicas argumentativas para estructurar mejor su discurso. Y un discurso
estaba bien estructurado cuando era convincente. El término
"convincente" contiene una reveladora ambigüedad: puede significar
algo psicológicamente irresistible para una persona de inteligencia normal o
algo lógicamente irresistible. Estos dos sentidos son a menudo amalgamados en
la mente griega y, como sus herederos, en pensadores posteriores hasta finales
del siglo XIX en que sobreviene el gran rechazo al psicologismo en ciencias
formales. Desde los griegos, consideramos que la persona racional debe poder
defender bien sus argumentos y atacar bien los de sus oponentes, en la doble
vertiente de los Analíticos Primeros y las Refutaciones Sofísticas
de Aristóteles.
En la Edad Media el discurso paradigmático deja de ser el discurso
forense. Ante la incertidumbre de salvar y proteger socialmente propiedad y
cuerpo, el medieval intenta salvar individualmente su alma. El discurso más
importante es el discurso religioso que contiene las instrucciones reveladas
para la salvación. El deseo de esclarecer la palabra divina ayuda a impulsar la
reflexión hermenéutica. Entre los grandes lógicos medievales es común un
interés en estudios de semántica y filosofía del lenguaje con teorías como las
de los insolubilia(7). Ahora la persona
racional debe poder manejar las obligationes(8) del discurso y su
análisis. El hombre racional es lógico en el sentido de que maneja y analiza
bien el lenguaje.
La época moderna es asombrosamente pobre en desarrollos lógicos. La
reacción contra el aristotelismo escolástico lleva a Descartes y sus seguidores
a menospreciar la utilidad del instrumental lógico para enfatizar los nuevos
métodos inductivos y experimentales. Durante este hiato modernista , la persona
racional era la persona que sabía experimentar con la realidad física. Fuera de
algunos intentos de Leibniz, publicados mucho después, este periodo tiene poco
que ofrecer desde el punto de vista lógico.
Regresamos a los estudios lógicos con el siglo XIX, que toma a la
matemática como paradigma de racionalidad lógica. Este proceso culminó en la
primera mitad del siglo XX con los grandes avances metalógicos sobre teoría de
la cuantificación y teoría de conjuntos. Ya no se considera que la disciplina
más cercana a la lógica es la ontología, como en Parménides, ni la retórica,
como en Aristóteles, ni la filosofía del lenguaje, como en Ockham, sino la
filosofía de las matemáticas, como en Frege y Russell. La persona racional debe
poder deducir conclusiones a partir de verdades seguras como si desarrollara un
sistema axiomático euclideano de geometría. La racionalidad se identifica con
las llamadas funciones recursivas, como en la famosa "Tesis de
Church". Hay quienes, trabajando bajo este nuevo enfoque, llegan a
concebir el fin principal de la lógica como "la comprensión precisa y
adecuada de la noción de prueba matemática".(9) Este es el enfoque
"clásico" (para distinguirlo del "tradicional" que cubre
desde Aristóteles hasta los escolásticos) y acompaña a los presupuestos
actuales sobre lógica y racionalidad.
Hoy día, en la segunda mitad del siglo XX, vivimos un nuevo cambio de
enfoque. Gracias al éxito en su aplicación a las matemáticas, hemos visto
extenderse el ámbito de aplicación de la lógica. Actualmente, encontramos a la
lógica con aplicaciones en los campos más diversos y con los nuevos usos se
descubren limitaciones que antes no eran aparentes o importantes. Esto ha
obligado a que los usos de la lógica se vuelvan más realistas y más complejos
para poder incluir consideraciones de campos muy diversos como la lingüística o
la filosofía del derecho. En las matemáticas se hacen más rigurosas las
discusiones sobre lo que constituye una prueba gracias a las lógicas
intuicionistas y constructivistas.(10) Las lógicas
epistémicas(11) y modales(12) proporcionan modelos
para discutir en filosofía las clásicas cuestiones sobre el conocimiento y la
posibilidad. La física cuántica ha motivado el desarrollo de lógicas especiales,(13) igual que el derecho
inspiró investigaciones sobre lógicas deónticas.(14) En lingüística se
usan desarrollos especiales de lógica cuantificacional para el estudio de las
anáforas y la cuantificación ramificada. Los sistemas expertos en medicina
utilizan lógicas condicionales y en ingeniería se recurre a lógicas
polivalentes(15)
y lógicas difusas.(16) Hay reconstrucciones
del desarrollo de la química basadas en lógicas del descubrimiento
(abductivas), y de la justificación (inductivas). En historia es útil la
consideración de lógicas contrafácticas,(17) y en pedagogía
aparecen nuevas técnicas educativas de razonamiento crítico y lógica para
niños.
Pero es en la disciplina más importante de nuestra época, la ciencia y
tecnología de la computación, donde se ha gestado el cambio más radical de
nuestra idea de la lógica. La importancia de la lógica en esta área es
múltiple. En informática, el cálculo proposicional auxilia en el diseño de
circuitos lógicos, y el cálculo lambda en la teoría de la programación
funcional. Hay desarrollos especiales aun cuando se utilicen elementos
desarrollados inicialmente con otros objetivos en mente, como la teoría lógica
de las funciones recursivas, o la teoría matemática de la complejidad. Se
utilizan lógicas no monotónicas y técnicas de circunscripción para el manejo de
la hipótesis de mundo cerrado en el manejo de bancos de datos, el problema del
"frame" en robótica y el de la herencia en programación por objetos.(18) Las lógicas lineales
se han usado en la construcción de semánticas para programas,(19) y las temporales y
dinámicas para control de sistemas. La informática tiene incluso su propio
estilo de "programación lógica" donde encontramos un concepto de
negación como falla, así como técnicas lógicas especiales como la resolución y
la unificación.
A los modelos retóricos, exegéticos y matemáticos hoy añadimos el del
cálculo mecánico y efectivo. Hoy en día, la noción de racionalidad involucra
computar bien, calcular o procesar eficientemente la información disponible.
Cada uno de estos paradigmas puede convivir con los anteriores. En estos
tiempos, interesados en la racionalidad computacional, la teoría de funciones
recursivas y la complejidad algorítmica, vemos una recuperación de los viejos
ideales de la retórica, la semántica filosófica y la filosofía de las
matemáticas. Y a todo esto hay que añadir un desarrollo reciente(20) de la inferencia
contextual no deductiva. La persona lógicamente racional ya no será sólo
"la que argumenta bien", ni "quien habla y comprende bien",
ni "aquella que domina el álgebra del pensamiento", sino aquella que "procesa
bien la información, dado su contexto". Todo lo anterior sobrevive y se
extiende; todos esos intereses continúan y se entrelazan en distintas
proporciones.
II. Presupuestos clásicos sobre la racionalidad.
No puede haber teoría de la racionalidad sin una filosofía de la lógica.
Ser "lógico" es un requisito para ser "racional". Este ser
lógico conlleva muchos compromisos epistémicos y demanda tanto conocimientos
como habilidades y actitudes. Exige saber cuándo es adecuado ofrecer razones,
cómo contruirlas y cómo evaluarlas. En su dimensión social, exige saber cómo
organizar una discusión, apoyar con razones, aceptar consecuencias, saber
cuándo y qué preguntar, clarificar el discurso, tomar en cuenta el contexto de
la discusión, reconocer la estructura de un argumento, saber cuando la
evidencia es insuficiente y buscar alternativas.
A estas exigencias se suman, en el enfoque clásico de principios de
siglo, otras de un carácter especial porque involucran un modelo ideal
epistémico: La primera exigencia es que se asume el contexto límite en el que
no hay presupuestos, el contexto vacío. Por ello es atractivo usar como
unidades de análisis proposiciones entendidas como fragmentos de lenguaje
desligados de las circunstancias de emisión. No preguntamos ¿cuándo?, ¿en qué
sentido?, ¿para quién? El valor de verdad de una proposición no cambia por
matices o cambios en las circunstancias, ya que las circunstancias no se
consideran. De aquí que parezca natural asumir el compromiso específico de la
bivalencia, según el cual sólo hay dos valores de verdad normalmente llamados
"verdad" y "falsedad". La lógica y sus inferencias ocurren
fuera del tiempo y el espacio.
Esta primer exigencia de acontextualidad lleva a la segunda exigencia.
Se supone que el agente lógico es ideal y carece de límites en sus recursos
para procesar la información. Si creemos A y de ello se sigue lógicamente B,
entonces debemos creer B también. A esto le llamamos "Omnisciencia
Lógica" pues se creen todas las consecuencias lógicas. La persona
racional, en este paradigma, no deja de reconocer, y ciertamente nunca contradice,
las consecuencias lógicas de sus creencias. Es natural que en la lógica clásica
las consecuencias lógicas están "cerradas" bajo la relación de
inferencia.(21) Por ejemplo, Tarski
pide que que las consecuencias lógicas de las consecuencias lógicas no añadan
nada, es decir, Cn(Cn A) Cn(A).
Aunque una inferencia real requiere tiempo y espacio, para muchos
lógicos clásicos el hecho de que un problema tenga en principio solución
es todo lo que necesitan para considerarlo resuelto. Sin embargo, un problema
resuelto en principio puede requerir de hecho más tiempo y espacio que el
disponible para los agentes racionales existentes. Ser lógico se vuelve una
exigencia inalcanzable para ser racional.
Esto nos lleva a la tercera exigencia. Además de la falta de contexto y
limitantes en los recursos, se busca modelar solamente inferencias infalibles.
Esto tiene dos ventajas: por un lado no hay necesidad de revisar creencias
pasadas y por otro hay una garantía de que no habrá contradicciones si se parte
de premisas consistentes. Un sistema axiomático que requiriera retracciones o
cayera en contradicciones sería considerado inadecuado. En los modelos clásicos
de sistemas axiomáticos se busca empezar sin errores.(22) A partir de esto se
busca proseguir sin error, de manera deductiva. Con este modelo se excluye de
entrada el tratamiento del error y la revisión.
Esta exigente visión de la lógica es un hermoso ideal para alcanzar,
pero un peligroso criterio para juzgar sobre la racionalidad de un agente.
Necesitamos un nuevo enfoque que considere de manera rigurosa, y si es posible
formal, la estructura de la racionalidad en situaciones concretas, limitadas y
falibles.
III. La nueva racionalidad.
En el prólogo al Begriffschrift, Frege explica que su sistema
está orientado sólo al contenido declarativo científico. Como vimos en la
primera sección, eso se tradujo en términos de una de las ciencias más
abstractas y rigurosas, la matemática. Al no caer en esta estrecha noción de
conocimiento los "matices" (Farben), tampoco caían dentro del
campo de aplicación de la lógica.
La lógica clásica es adecuada para mundos ideales con recursos infinitos
y sin cambio. La racionalidad clásica habla sobre la idealidad del agente, pero
incluso un agente ideal puede vivir en condiciones no ideales. Como mencionamos
antes, no es nuestra culpa que el mundo real cambia y los agentes crean,
descubren, intercambian nueva información. Para ser racional puede bastar
actuar no perfectamente sino tan perfectamente como las condiciones externas lo
permitan. Esto es un cambio de óptica importante. Responder a los
constreñimientos de la situación no es un menoscabo de la racionalidad mientras
no hayan defectos internos al pensamiento. Lo ideal sólo es normativo cuando es
posible.
Al recolectar información, corremos riesgos y enfrentamos limitaciones.
La información recabada puede estar equivocada, ser contradictoria, o ser
incompleta. Necesitamos sistemas de lógica en los que se reconozca esto y nos
provean de mecanismos lógicos para manejarlo. Creo que el requisito de ser
lógico es sensato, pero la lógica debe dar cabida a la sensatez falible. Esta
sensatez no es un permiso para dejar de ser rigurosos, sino el intento de ser
rigurosos en el contexto de nuestras limitaciones.
La lógica, pues, debe reconocer que podemos necesitar partir de inicios
imperfectos, erróneos, contradictorios o incompletos. Y esto no es todo.
Después de obtener la información, nuestro trabajo apenas empieza. La parte más
importante es el procesamiento de los datos. Ese procesamiento, fuera de
situaciones ideales, a veces exige saltar a conclusiones por razones teóricas,
como la indecidibilidad, y prácticas, como la complejidad.
Aceptar que para ser racional se debe ser lógico no nos condena a
sistemas lógicos inaplicables fuera de unas pocas situaciones afortunadas. Se
puede ser lógico sin ser infalible mientras mantengamos inferencias que gocen
de plausibilidad y sensatez. Estas nociones son vagas, pero la vaguedad se
atempera gracias a que existen casos extremos claros y paradigmáticos.
Esta pérdida de la infalibilidad, reemplazándola con una modesta
sensatez, no significa renunciar al rigor. Podemos incluso desarrollar sistemas
que permiten y facilitan hacer revisiones a nuestros cuerpos de creencias, como
las lógicas no-monotónicas en que es fácil modelar procesos de retracción de
opiniones. Podemos tener sistemas formales paraconsistentes que acepten
inconsistencias sin por ello caer en la trivialización de concluir cualquier
cosa.(23)
Para ser lógicos no necesitamos ignorar el contexto en que razonamos ni
pretender que nuestros recursos son infinitos. Hay lógicas tetravalentes para
modelar la manera en que cambia la evidencia sobre algo (ninguna, a favor, en
contra, de ambos tipos). Las lógicas dinámicas permiten un manejo diacrónico de
la inferencia, mientras que las lineales toman en cuenta que nuestra memoria y
recursos similares para razonar son limitados.
La existencia de estos nuevos sistemas anuncia un nuevo concepto de
racionalidad. Podemos tener todo el rigor formal de los sistemas clásicos sin
sus presupuestos idealizadores. Tenemos al alcance una racionalidad para
agentes de carne y hueso. Esta labor será larga y complicada por la variedad y
complejidad de la experiencia humana. Una vez fuera del regazo protector de los
axiomas y la deducción, tenemos que vérnosla con errores y planear su revisión.
Se abre el horizonte de toda una gama de tipos de razonamientos no
deductivos. Aquellos en que se concluye una explicación (abductivos), los de
sentido común aceptables para una comunidad, los default que se apoyan en lo
que típicamente ocurre, los inciertos con reglas o premisas falibles, los
inductivos con que se generaliza a partir de algunos casos, los no-monotónicos
en general cuyas conclusiones son retractables a la luz de información
adicional, los simplemente plausibles por estar altamente apoyados por la
evidencia, y los prima facie a falta de información en contra. Son todos
argumentos con algún grado de probabilidad pero pueden ser bloqueados y sus
conclusiones retractadas si el contexto cambia.
En esta nueva visión de la inferencia, aunque la lógica ideal no se
aplique a todo en nuestras vidas, podemos ser lógicos y, gracias a ello,
encontrar la racionalidad a nuestro alcance..
BIBLIOGRAFÍA
Bochenski, Innocentius Maria. Historia de la Lógica Formal. Gredos, Madrid, 1966.
Bradwardine, "Insolubilia and
Bradwardine's Theory of Signification". Editado por Paul
Vincent Spade, Medioevo VII 1981, pp. 115-134.
Brouwer, Luitzen Egbertus Jan. (1908) "De
onbetrouwbaarheid der logische principes", Tijdschrift voor
wijsbegeerte 2, 152-158.
Chellas, Brian F., Modal Logic, London,
Cambridge University Press, 1980.
da Costa, Newton C. A. (1974). "On the
theory of inconsistent formal systems", Notre Dame Journal of Formal
Logic, vol. XV. No. 4, octubre, pp. 497-510.
da Costa, Newton C. A. (1982). "The
Philosophical Import of Paraconsistent Logic'", The Journal of
Non-Classical Logic, vol. I, no. 1, pp. 1-19.
Dumitriu, Anton. History of Logic. Volumes
I, II. Abacus Press, Tunbridge Wells, Kent, 1977. Traducción revisada,
actualizada y aumentada de la segunda edición de Istoria Logicii,
Editura Didactic, Bucarest, 1975. Traducido por
Duiliu Zamfirescu, Dinu Giurcneanu y Doina Doneaud.
Fland, Robert, "Robert Fland's Consequentiae:
An Edition". Editado por Paul Vincent Spade, Mediaeval Studies 38,
1976, pp. 54-84.
Fland, Robert, "Robert Fland's Obligationes:
An Edition". Editado por Paul Vincent Spade, Mediaeval Studies,
vol. XLII, 1980, pp. 41-60.
Frege, Gottlob. Begriffshrift, eine der
Arithmetischen Nachgebildete Formelsprache des Reinen Denkens. Halle: Verlag von
Louis Nebert, 1879. Traducción de Hugo Padilla en Conceptografía,
México: UNAM, 1972.
Girard, J-Y. (1987) "Linear Logic". Theoretical
Computer Science 50, 1-102.
Heyting, Arend. (1956) Intuitionism: An
Introduction. North-Holland, Amsterdam.
Hintikka, Jaako. (1989) The Logic of
Epistemology and the Epistemology of Logic. Kluwer, Dordrecht.
Hughes, George Edward, A companion to Modal
Logics, London, Methuen, 1984.
Hughes, George Edward y Cresswell, M. J. Introducción a la lógica
modal. Madrid, Tecnos, 1973. Original: (1972) An
Introduction to Modal Logic, Methuen, Londres. (Primera edición 1968).
Jauch, Josef Maria. (1968) Foundations of
Quantum Mechanics, Addison Weley.
Kneale, William Calvert; Kneale, Martha. El Desarrollo de la
Lógica. Tecnos, Madrid, 1972.
Kraus, S., Lehmann, D., Magidor, M. (1990)
"Nonmonotonic Reasoning, Preferential Models and Cumulative Logics",
Artificial Intelligence, 44, 167--207.
Lewis, C. I. y Langford, C. H.: (1959) Symbolic
Logic, Dover, Nueva York, ) Primera ed. 1932.
Lewis, David. Counterfactuals. Harvard U.
Press (1973).
Lukasiewics, Jan. ``I. On the Notion of
Possibility. II. On Three-Valued Logic'' (1920), en Storrs McCall (Comp.) (1967), Polish
Logic. 1920-1939, Oxford U. P., Gran Bretaña, pp. 40-65. En esa misma compilación,
(1930) ``Philosophical Remarks on Many-Valued Systems of Propositional Logic'',
pp. 15-18 y "On Determinism'', pp. 19-39.
Marconi, Diego (1981) "Types of Non-Scotian
Logic"', Logique et Analyse (NS), año XXIV, No. 95-96, sep-dic., pp.
407-414.
Mates, Benson. Stoic Logic, Berkeley y Los Angeles, 1961.
McCarthy, John. (1980) "Circumscription: A
form of non-monotonic reasoning", Artificial Intelligence, 13, pp.
27--39.
McDermott, Drew V., Doyle, Jon, 1978.
"Non-monotonic logic I". MIT Technical Report Memo 486.
Mendelson, Elliott, Introduction to Mathematical
Logic, tercera edición, Wadsworth & Brooks/Cole, 1987.
Moore, Robert C. (1985) "Semantical
considerations on nonmonotonic logic". Artificial Intelligence, vol. 25, no. 1, pp.
75-94.
Morado, Raymundo y Beuchot, Mauricio. "Las paradojas de la
implicación material y de la implicación estricta en el siglo XX". Analogía,
vol. 3, no. 1, 1989, pp. 63-74.
Orayen, Raúl. "Lógica Modal". Enciclopedia Iberoamericana
de Filosofía, vol. 7, Editorial Trotta, pp. 289-322.
Prior, Arthur N. Historia de la Lógica. Tecnos, Madrid, 1976.
Reiter, Raymond. (1980) "A logic for default
reasoning". Artificial Intelligence, vol. 13, no. 1-2, pp. 81-132.
Robles, José Antonio. "Historia de la Lógica". Enciclopedia
Iberoamericana de Filosofía, vol. 7, Editorial Trotta, Madrid, 1995, pp.
49-69.
Shoam, Yoav. (1988) Reasoning About Change: Time
and Causation from the Standpoint of Artificial Intelligence. Cambridge,
MA: MIT Press.
Spade, Paul Vincent, "Three Theories of
Obligationes: Burley, Kilvington, and Swyneshed on Counterfactual
Reasoning". History and Philosophy of Logic, 3, 1981, pp. 1-32.
Swyneshed, Roger, "Roger Swyneshed's Insolubilia:
Edition and Comments". Editado por Paul Vincent Spade, Archives D'Histoire
Doctrinale et Littéraire du Moyen Age, 46, 1979, pp. 177-220.
Tarski, Alfred. ``Foundations of the calculus of
systems'', 1935. Pp. 342--383 de Logic, Semantics, Metamathematics: Papers
from 1923 to 1938 by Alfred Tarski, 1983, John Corcoran (ed.), Hackett
Publishing Company, segunda edición.
Troelstra, Anne Sjerp. (1991) Lectures in Linear
Logic. CSLI, California.
von Wright, G. H. An Essay in Modal Logic.
Amsterdam., (1951).
von Wright, G. H. Norm and Action. Londres
(1963).
Zadeh, Lofti, "Fuzzy Sets" en Information
and Control. 8, 338-353 (1965).
1. Este trabajo se ha beneficiado de
muchos y penetrantes comentarios anónimos. Mi agradecimiento por ellos.
2. Por no ser éste un trabajo de
divulgación, omito muchos detalles. Asumo que mis lectores conocen los detalles
básicos de la historia de la lógica, así como algunos desarrollos
contemporáneos, y me limito a presentar mi interpretación personal. Además
asumo una familiaridad elemental con nociones como formalización,
indecidibilidad, la tesis de Church, etc.
3. Un clásico de la historia de la lógica
estoica es el libro de Mates en la bibliografía.
4. Para una historia general de la lógica
se pueden consultar los trabajos de Bochenski, los Kneale, Dumitriu, Prior, y
Robles mencionados en la bibliografía.
5. "Wenn eine Aufgabe in ihrer vollen
Allgemeinheit unlösbar sheint, so beschränke man sie voläufig, dann wird
vielleicht durch allmähliche Erweiterung ihre Bewältigung gelingen."
Frege, Begriffshrift..., p. xii.
En la traducción, p. 9.
6. Por supuesto, no tenemos que hablar de
"personas" en un sentido antropomórfico. Lo que decimos se aplica a
agentes racionales posibles.
7. Sobre las aparentemente insolubles
paradojas lógicas. Por ejemplo, con Alberto de Sajonia.
8. Es decir, las "obligaciones"
lógicas que contraemos cuando aceptamos considerar un caso hipotético, por mor
del argumento, aunque asuma un supuesto contrario a los hechos. Para una
discusión de la naturaleza y características de las obligationes, pueden
verse, entre otros, los textos de Bradwardine, Fland, Spade y Swyneshed.
10. Dos clásicos sobre este tema son
Brouwer y Heyting.
11. Véase el libro de Hintikka mencionado
en la bibliografía.
12. Buenas referencias para lógica modal
son Lewis y Langford, así como Hughes y Cresswell. También puede verse Hughes,
Chellas, Morado y Beuchot, y Orayen.
13. Véase Jauch.
14. Son lectura obligada los libros de G.
H. von Wright.
15. Su creador fue Jan Lukasiewics, en los
trabajos mencionados en la bibliografía.
16. Creadas por Lofti Zadeh en su artículo
de 1965.
17. Son sobre todo conocidas por el trabajo
de David Lewis.
18. La bibliografía para estas lógicas es
muy vasta. Los textos seminales son los de Reiter, McCarthy, McDermott, Moore,
Shoam, Kraus, Lehmann y Magidor.
19. Véase, por ejemplo, Girard y Troelstra.
20. Sobre todo desde principios de los
80´s. Veremos esto con más detalle en la tercera parte.
21. En Alfred Tarski,1935, p. 344.
22. El que la realidad sea otra, como con
la famosa ley V de Frege, es visto como un desafortunado accidente.
23. Sobre los cálculos paraconsistentes,
véase da Costa y Marconi.
Es una Conferencia del Dr. Raymundo Morado de 1997, que dio en un Coloquio sobre Recionalidad.
ResponderEliminarSencillo, claro, muy lindo para volverlo a leer. Lo recomiendo !
Me agradó conocí nuevas perspectivas.
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