El proyecto del logicismo fue una de las empresas intelectuales más ambiciosas de la historia de la matemática: la pretensión de demostrar que la matemática —o, más precisamente, la aritmética— podía fundamentarse enteramente en la lógica.
La idea, en términos muy sencillos, era extraordinaria:
Si conseguimos partir únicamente de principios lógicos y, a partir de ellos, definir los números y demostrar las leyes de la aritmética, habremos mostrado que la matemática es, en última instancia, lógica.
El proyecto tuvo dos grandes momentos de crisis. El primero apareció con la paradoja de Russell, que puso en evidencia una contradicción en el sistema lógico de Frege. El segundo llegó con Gödel, que mostró que incluso los sistemas formales capaces de evitar esas contradicciones tienen límites internos que no pueden eliminarse.
Pero conviene contar esta historia con cuidado, porque Gödel no demostró simplemente que el logicismo era falso. Lo que hizo fue algo más profundo: mostró que la verdad matemática y la demostrabilidad formal no pueden identificarse sin más.
1. La primera piedra de toque: la paradoja de Russell
A finales del siglo XIX, Gottlob Frege había emprendido un proyecto monumental.
En Los fundamentos de la aritmética (1884), defendió filosóficamente la tesis de que los números podían comprenderse a partir de conceptos lógicos. Pero todavía faltaba construir el sistema formal capaz de llevar adelante ese programa.
Ese trabajo apareció en Las leyes fundamentales de la aritmética, cuyo primer volumen fue publicado en 1893.
Frege necesitaba una manera de pasar de los conceptos a los objetos matemáticos. Para ello introdujo, entre otros principios, la famosa Ley Básica V.
Simplificando mucho, esta ley permitía tratar las extensiones de los conceptos como objetos y establecía cuándo dos conceptos tenían la misma extensión. Parecía un principio perfectamente razonable y, para el proyecto de Frege, prácticamente indispensable.
Pero allí estaba escondido el problema.
La pregunta de Russell
En 1901, mientras estudiaba el sistema de Frege, Bertrand Russell descubrió que podía utilizar sus principios para construir una entidad paradójica.
Imaginemos —de manera simplificada— la colección de todas las cosas que no se pertenecen a sí mismas:
[
R={x\mid x\notin x}
]
Y entonces aparece la pregunta aparentemente inocente:
¿R pertenece a R?
Pensemos las dos posibilidades.
Primera posibilidad: R pertenece a R
Si:
[
R\in R
]
entonces R es uno de los objetos que pertenecen a R.
Pero R contiene precisamente aquellos objetos que no se pertenecen a sí mismos.
Por tanto:
[
R\notin R
]
Contradicción.
Segunda posibilidad: R no pertenece a R
Ahora supongamos:
[
R\notin R
]
Pero entonces R cumple exactamente la condición que define a los elementos de R: no pertenecerse a sí mismo.
Por tanto:
[
R\in R
]
Otra contradicción.
Tenemos entonces:
[
R\in R\iff R\notin R
]
Y aquí aparece la bomba lógica.
En 1902, Russell comunicó el problema a Frege por carta, cuando el segundo volumen de Las leyes fundamentales de la aritmética estaba prácticamente en imprenta. El volumen apareció en 1903 con un apéndice en el que Frege reconocía la gravedad del problema para los fundamentos de su sistema.
¿Qué había ocurrido realmente?
Es importante no decir que Russell había demostrado que «la lógica es inconsistente».
No.
Lo que había mostrado era que el sistema lógico-fundacional de Frege contenía principios que permitían derivar una contradicción.
La lógica no había muerto.
Lo que había fracasado era una determinada manera de construir los fundamentos de la matemática.
Y esto obligaría a Russell a buscar una solución.
2. El rescate de Russell: la teoría de tipos
Russell no abandonó el proyecto.
Al contrario: intentó construir una arquitectura lógica que hiciera imposible la paradoja que él mismo había descubierto.
Junto con Alfred North Whitehead, desarrolló este proyecto en los Principia Mathematica, publicados entre 1910 y 1913.
La idea central era la teoría de tipos.
En lugar de permitir que cualquier objeto pudiera relacionarse indiscriminadamente consigo mismo, Russell establecía una jerarquía.
Simplificando muchísimo:
Tipo 0: individuos.
Tipo 1: propiedades o conjuntos de individuos.
Tipo 2: propiedades o conjuntos de objetos de tipo 1.
Y así sucesivamente.
La intuición es sencilla:
Una cosa no puede pertenecer a una colección de la misma manera que esa colección pertenece a una colección superior.
De esta manera se bloqueaba la autorreferencia que había generado la paradoja.
Russell había conseguido algo importante: evitar la contradicción.
Pero apareció un nuevo problema.
Para que toda la matemática clásica pudiera desarrollarse dentro de esta arquitectura, fue necesario introducir ciertos principios que ya no parecían tener el carácter de verdades lógicas evidentes.
Entre ellos estaban el Axioma de Infinitud y, en la teoría ramificada de tipos, el Axioma de Reducibilidad.
El problema filosófico era evidente.
Si para obtener la matemática necesitamos afirmar, por ejemplo, que existen infinitos individuos, ¿estamos todavía haciendo lógica pura?
El proyecto inicial comenzaba a perder su pureza.
Esto no significa que Russell abandonara el logicismo. El programa siguió teniendo defensores y podía reformularse de distintas maneras.
Pero la ambición original —derivar la matemática exclusivamente de principios lógicos autoevidentes— había quedado seriamente debilitada.
Y entonces llegó un problema todavía más profundo.
3. El límite estructural: Gödel
Durante las primeras décadas del siglo XX, la cuestión de los fundamentos de la matemática tomó una nueva dirección.
David Hilbert y otros matemáticos pensaban que quizá fuera posible construir sistemas formales rigurosos en los que toda la matemática pudiera expresarse mediante símbolos y reglas precisas y cuya consistencia pudiera demostrarse matemáticamente.
La esperanza era encontrar, por así decirlo, un edificio formal perfecto:
preciso;
libre de contradicciones;
suficientemente potente para expresar la matemática;
y capaz de demostrar todas las verdades matemáticas relevantes.
En 1931, Kurt Gödel mostró que esa esperanza tenía un límite estructural.
Y aquí es donde aparece uno de los resultados más extraordinarios de toda la historia de la lógica.
4. La genialidad de Gödel: hacer que la aritmética hable de sí misma
Gödel encontró una manera de codificar las expresiones y demostraciones de un sistema formal mediante números.
A cada símbolo, fórmula y demostración se le puede asociar un número.
De este modo, una expresión lógica deja de ser solamente una cadena de símbolos: puede convertirse en un objeto aritmético sobre el que podemos hacer cálculos.
Esto permitió algo revolucionario.
La aritmética podía empezar a hablar, indirectamente, sobre las propias demostraciones aritméticas.
Gödel pudo entonces construir una proposición que, simplificando enormemente, dice:
«Esta proposición no es demostrable dentro de este sistema».
Llamémosla G.
Y ahora aparece el momento decisivo.
Si G pudiera demostrarse dentro del sistema, entonces lo que G afirma sería falso, porque G afirma precisamente que no puede demostrarse.
Pero si el sistema es consistente, eso no puede ocurrir.
Por tanto, G no puede ser demostrada dentro del sistema.
Y si G no puede ser demostrada, entonces aquello que G afirma resulta ser verdadero.
Tenemos así una situación extraordinaria:
G es verdadera, pero no es demostrable dentro del sistema.
Esto es, simplificando, el corazón del Primer Teorema de Incompletitud.
Más precisamente, para un sistema formal consistente y suficientemente potente como para expresar una parte adecuada de la aritmética, existen enunciados aritméticos que el sistema no puede decidir mediante sus propios recursos.
5. El segundo golpe: la consistencia
Gödel no se detuvo allí.
Su Segundo Teorema de Incompletitud mostró, bajo las condiciones apropiadas, que un sistema formal suficientemente potente y consistente no puede demostrar su propia consistencia utilizando únicamente sus propios recursos.
Dicho de una manera intuitiva:
Un sistema matemático suficientemente potente no puede, desde dentro de sí mismo, proporcionar una garantía completa de que él mismo está libre de contradicciones.
Para demostrar determinadas propiedades del sistema necesitamos situarnos, por así decirlo, un nivel por encima del sistema y hablar de él desde el metalenguaje.
La lógica comienza entonces a estudiar no solamente las fórmulas matemáticas, sino también las posibilidades y los límites de los sistemas que construimos para formalizarlas.
6. ¿Entonces Gödel destruyó el logicismo?
Aquí conviene ser muy cuidadosos.
No exactamente.
Gödel no demostró que la lógica fuera falsa.
Tampoco demostró que la matemática fuera inconsistente.
Y tampoco demostró simplemente que «la matemática es más grande que la lógica».
Lo que mostró fue algo mucho más preciso y, filosóficamente, mucho más profundo:
La noción de verdad matemática no puede identificarse sin más con la noción de demostrabilidad dentro de un único sistema formal suficientemente potente.
Incluso cuando construimos un sistema preciso, consistente y capaz de expresar la aritmética, aparecen límites internos.
Siempre puede haber algo que el sistema no pueda demostrar.
7. Los tres momentos de una misma historia
Vista en perspectiva, la historia puede resumirse así:
Frege
La matemática puede fundamentarse en la lógica.
Pero la construcción de Frege contiene una contradicción.
Russell
Podemos evitar las paradojas construyendo una arquitectura lógica más cuidadosa.
Pero para desarrollar toda la matemática aparecen principios cuya naturaleza puramente lógica resulta discutible.
Gödel
Incluso un sistema formal consistente y suficientemente potente tiene límites internos: no puede demostrar todo lo que querríamos que demostrara.
Y aquí cambia profundamente la pregunta por los fundamentos.
Ya no se trata solamente de preguntar:
¿De qué está hecha la matemática?
Sino también:
¿Qué puede demostrar un sistema formal? ¿Qué no puede demostrar? ¿Qué significa que una proposición matemática sea verdadera?
En conclusión
La paradoja de Russell mostró que el sistema original de Frege era inconsistente y obligó a revisar radicalmente la relación entre lógica y matemática.
La teoría de tipos de Russell mostró que era posible construir una arquitectura lógica capaz de evitar esas paradojas, aunque a costa de introducir principios cuya condición de «verdades puramente lógicas» resultaba problemática.
Y Gödel, décadas después, mostró algo todavía más profundo: incluso si conseguimos construir un sistema formal consistente y suficientemente potente, no podemos esperar que ese sistema sea completo.
La historia, por tanto, no es simplemente la historia de tres fracasos.
Es la historia de una transformación:
Frege quiso convertir la matemática en lógica.
Russell intentó hacer posible esa reducción evitando las paradojas.
Gödel descubrió que, una vez formalizado el edificio, existen límites que ningún sistema suficientemente potente puede superar.
Y quizá la lección filosófica más profunda sea ésta:
La matemática no se agota en aquello que un determinado sistema formal puede demostrar.
Ese descubrimiento no destruyó los fundamentos de la matemática.
Cambió para siempre nuestra idea de qué significa fundamentarla.
Es un tema apasionante !!!! podemos iniciar una linda discusión
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