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Claudio Conforti

jueves, 30 de abril de 2009

La lógica de Segundo Orden es Lógica?

Según Concepción Martínez Vidal:
Otro es el problema de si la lógica de segundo orden con semántica estándar puede ser o no considerada lógica. En general la lógica de segundo orden con semántica estándar se considera una extensión de la lógica de primer orden ya que el conjunto de las verdades lógicas de primer orden es un subconjunto de las verdades lógicas de primer orden, la noción tarskiana de consecuencia lógica se aplica directamente a la de segundo orden y la semántica estándar para la lógica de segundo orden es también la semántica modelo-teórica. Por tanto, parece que la noción de constante lógica debiera aplicarse también en segundo orden. Así los tipos de denotaciones adecuadas para las distintas categorías sintácticas básicas de un lenguaje de segundo orden serían las mismas que en primer orden para conectivas y cuantificadores de primer orden, mientras que al cuantificador universal de segundo orden (para toda propiedad, o para toda relación) le corresponde como valor semántico el conjunto potencia del universo del discurso de la posible realización (o el conjunto potencia del producto cartesiano del dominio por sí mismo n veces si la relación sobre la que estamos cuantificando tiene n argumentos) y al cuantificador existencial (para al menos una propiedad, para al menos una relación) le corresponde un subconjunto del conjunto potencia del dominio o del producto cartesiano del dominio por sí mismo n veces dependiendo del número de argumentos de la relación. Ahora, las denotaciones de los términos lógicos de segundo orden deben ser entidades lógicas, luego si ‘"’ y ‘$’ han de ser términos lógicos, ‘Ã(A)’ (o ‘Ã(Ax…xA)’) debe ser un conjunto invariante bajo isomorfismos. La noción de subconjunto ha de estar fijada por la función de interpretación para los cuantificadores. Pero, lo que ocurre en el caso de la lógica de segundo orden no es exactamente lo que ocurre en el caso de primer orden. En el caso de segundo orden, el compromiso con la noción de subconjunto, resulta del uso instrumental que la semántica modelo-teórica hace de la teoría de conjuntos. La operación potencia sobre el dominio de la posible realización que se utiliza en primer orden para establecer todos los valores semánticos posibles para las expresiones no lógicas; pero en ese caso no cuantificamos sobre esos subconjuntos, luego no hay compromiso con la noción de subconjunto. En el caso de la lógica de segundo orden, cuantificamos sobre los subconjuntos del dominio. Ahí radica el diferente compromiso ontológico (según el dictum quineano) de la lógica de primer orden frente a la lógica de segundo orden. Mientras que la de primer orden solo se compromete con los elementos del dominio, la lógica de segundo orden con semántica estándar se compromete con todos los subconjuntos del dominio, por lo que la noción de subconjunto resulta ser uno de los supuestos ontológicos de la lógica de segundo orden con semántica estándar. Debido a ese compromiso, la idoneidad de la semántica modelo-teórica de cara a representar todos los estados de hechos posibles para un lenguaje de segundo orden, se encuentra con una dificultad añadida: la incompletud de la teoría de conjuntos. Debido a esa incompletud, algunos enunciados fundamentales relativos a la noción de subconjunto son independientes de los axiomas estándar de Zermelo-Fraenkel. Por ejemplo, la hipótesis del continuo y su negación son ambas compatibles con los axiomas estándar de ZF. Lo que signifique un cuantificador de segundo orden depende de qué decidamos respecto a la hipótesis del continuo. Si la añadimos, los subconjuntos que se considerarán serán aquellos en los que esta hipótesis se cumple, mientras que si decidimos extender ZF con la negación de la hipótesis del continuo, los subconjuntos que serán tenidos en cuenta serán otros. Y así para otros muchos axiomas. A resultas de ello, el significado de los cuantificadores de la lógica de Segundo orden con semántica estándar es ambiguo.
Autores como Hartry Field han defendido que la matemática es prescindible (aunque útil) y se han embarcado en el ambicioso proyecto de reconstruir distintas teorías científicas (el lo hace para la Física newtoniana) prescindiendo de la matemática. Field utiliza la lógica como vehículo para evitar el compromiso ontológico con entidades matemáticas, compromiso que desde su rechazo de las entidades abstractas, resulta inaceptable. Pero, dado que la lógica de primer orden es insuficiente para formalizar teorías científicas, por ejemplo para reconstruir la física newtoniana, si la lógica de segundo orden es teoría de conjuntos disfrazada, entonces la lógica de segundo orden con semántica estándar no puede desempeñar el papel que los filósofos de la matemática que quieren evitar el compromiso ontológico con las entidades matemáticas le han otorgado (i.e., como instrumento alternativo a la matemática). Normalmente, los filósofos de la matemática contemporáneos que proponen la utilización de la lógica como alternativa al compromiso con entidades matemáticas, proporcionan semánticas alternativas para esa lógica, de manera que los compromisos ontológicos que conlleva la semántica estándar para la lógica de segundo orden (con entidades abstractas tales como propiedades, o conjuntos de conjuntos de entidades) no sean necesarios; así, Boolos interpreta la cuantificación sobre predicados en términos de pluralidades de entidades del dominio. Field toma como primitivos los conceptos lógicos básicos: consecuencia lógica y consistencia. Chihara intenta reconstruir la matemática prescindiendo de entidades matemáticas y sustituyéndolas por sentencias abiertas o por sentencias cuya construcción es posible y reinterpretando los cuantificadores en términos constructivos.
El problema de si la lógica de segundo orden es lógica se ha planteado también respecto a la cuestión de cuál es la lógica adecuada para dar cuenta de la practica matemática. Desde esta perspectiva, el problema radica en que en matemáticas nuestro propósito es el de caracterizar hasta isomorfía y esto sólo es posible en el marco de la lógica de segundo orden. Sin embargo, la lógica de segundo orden es incompleta (no hay una deducción para todo argumento válido formulable en un lenguaje de segundo orden). Dado que el problema radica en la teoría matemática elegida para formular la semántica, la teoría de conjuntos, se han formulado propuestas semánticas alternativas. Por su parte Awodey y Reck han analizado, desde un punto de vista matemático e histórico, la axiomática formal tal y cómo se desarrolla en los trabajos de Dedekind, Peano, Hilbert, Huntington y Veblen para defender la necesidad de utilizar lógica de orden superior en general, y de segundo orden en particular, si se han de satisfacer los objetivos que guiaban a estos autores clásicos. Proponen una semántica alternativa, una semántica topológica para la lógica de orden superior. Esta semántica dispone de un cálculo completo y, al contrario que en el caso de la lógica de segundo orden con semántica no estándar, la lógica tiene suficiente capacidad expresiva como para que podamos disponer de caracterizaciones categóricas, aunque, por supuesto, el significado de este término varía. La lógica de segundo orden con semántica topológica es completa sin que esto vaya contra los resultados de incompletud de Gödel. Esto se debe a que la semántica topológica utiliza universos integrados por entidades matemáticas que son una generalización de la noción de conjunto: conjuntos continuamente variables (sheaves). Los resultados de Gödel se basan en el uso del término ‘verdadero’ entendido como ‘verdadero acerca de todos los conjuntos constantes’; el sentido de ‘verdadero’ en la semántica que introducen es el de ‘verdadero en todos los conjuntos variables’. El hecho de que la lógica de segundo orden con semántica topológica sea completa, garantiza que la operación de consecuencia está determinada. Sin embargo, la idoneidad de este tipo de semántica no se considera aún establecida.
Por su parte Jané ha establecido que la lógica de segundo orden no es la apropiada para formular la teoría de conjuntos porque esa lógica presupone a nivel semántico la propia noción que intentamos caracterizar axiomáticamente. Si cambiamos la semántica modelo-teórica tradicional por la semántica topológica que proponen Awodey y Reck, entonces no se produce esa interferencia, ese presuponer a nivel semántico, en el metanivel, lo que estamos definiendo, de manera que los axiomas por sí solos recogerían la información relevante. En ese sentido la caracterización sería formal.

2 comentarios:

  1. Excelente reflexión de concepción Martínez Vidal que quise compartir...

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  2. En nuestras
    estructuras o sistemas estándar tomamos el conjunto de las partes del
    universo de individuos como universo de conjuntos y el de las partes del
    producto cartesiano del universo de individuos como universo de relaciones.
    Al hacerlo la noción de subconjunto es la de la metateoría de conjuntos
    –la estamos tratando como un concepto “lógico”, de la misma forma
    acrítica con la que se toma a la identidad en la lógica de primer orden, y
    por consiguiente es la del metalenguaje–. El problema es que la categoría
    de ser un subconjunto es muy poco descriptiva, muy laxa, y terminamos
    en una lógica no absoluta. Pero, bien mirado, la propia semántica estándar
    puede ser considerada como una especie de error.
    concluimos que la incompletud
    de la lógica de segundo orden con semántica estándar nada tiene que ver
    con la naturaleza del razonamiento de segundo orden, sino con el modo en
    el que ha sido construido el “modelo” de razonamiento de segundo orden
    en esta semántica. Sin advertirlo, hemos ligado la metateoría de conjuntos
    ZFC a la semántica de segundo orden, que es nuestro lenguaje en estudio.
    Los efectos secundarios que se han producido en consecuencia no están
    relacionados con la naturaleza del fenómeno sino con el modo de construir
    el modelo.
    Este tipo de consideraciones nos llevan a la necesidad de dar versiones
    absolutas de las lógicas que no lo sean. El pionero fue Henkin, que en
    1949 dio una versión semejante para la lógica superior. Y es así como
    los resultados se invierten para obtener finalmente uno feliz: Podemos
    hacer que SOL sea una lógica completa modificando la semántica.

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