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Claudio Conforti

jueves, 2 de diciembre de 2010

Paradoja de Hempel (De Wikipedia)

La paradoja del cuervo es una paradoja propuesta por el filósofo alemán Carl Hempel en la década de 1940 para ilustrar un problema donde la lógica inductiva desafía a la intuición. Esta paradoja se conoce también como paradoja de la negación o paradoja de Hempel.

Cuando durante miles de años la gente ha observado hechos que se acomodan bien en el marco de una teoría como la ley de la gravedad, tendemos a creer que dicha teoría tiene una alta probabilidad de ser cierta y nuestra confianza en ella aumenta con cada nueva observación de acuerdo con ella. Este tipo de razonamiento puede sintetizarse en el principio de inducción:

Si se observa un caso particular X consistente con la teoría T, entonces la probabilidad de que T sea cierta aumenta.
Hempel da un ejemplo del principio de inducción. Propone como teoría "Todos los cuervos son negros". Si ahora examinamos a un millón de cuervos, y observamos que todos son negros, nuestra creencia en la teoría "todos los cuervos son negros" crecerá ligeramente con cada observación. En este caso, el principio de inducción parece razonable.

Ahora bien, la afirmación "todos los cuervos son negros" es equivalente en lógica a la afirmación "todas las cosas no-negras son no-cuervos". Por lo tanto, si observamos una manzana roja, es consistente con esa segunda afirmación. Una manzana roja es una cosa no-negra, y cuando la examinamos, vemos que es un no-cuervo. Así que, por el principio de inducción, el observar una manzana roja ¡debería incrementar nuestra confianza en la creencia de que todos los cuervos son negros!

Hay filósofos que han ofrecido varias soluciones a este desafío a la intuición. El lógico estadounidense Nelson Goodman ha sugerido añadir restricciones a nuestro propio razonamiento, como no considerar nunca que un caso valide "Todos los P son Q" si valida también "Ningún P es Q".

Otros filósofos han cuestionado el "principio de equivalencia". A lo mejor, la manzana roja debe aumentar nuestra creencia en la teoría "todas las cosas no-negras son no-cuervos" sin aumentar nuestra creencia en la teoría "todos los cuervos son negros". Esta sugerencia también ha sido cuestionada, sin embargo, con el argumento de que no puedes tener distinto nivel de creencia en dos afirmaciones si sabes que ambas son o ciertas o falsas al mismo tiempo. Goodman, y más tarde, Quine, usaron el término predicado proyectable para describir las expresiones, como cuervo y negro, que sí permiten el uso de generalizaciones inductivas. Los predicados no proyectables son aquellos como no-negro y no-cuervo, que aparentemente no lo permiten. (Ver también verjo, otro predicado no proyectable inventado por Goodman.) Quine sugirió que es una cuestión empírica cuáles, si alguno, de los predicados son proyectables, y observa que en un universo de infinitos objetos, el complemento de un predicado proyectable debe ser siempre no proyectable. Esto tendría la consecuencia de que, a pesar de que "todos los cuervos son negros" y "todas las cosas no-negras son no-cuervos" deben ser validados al mismo tiempo, ambos derivan su apoyo de cuervos negros, y no de no-cuervos no-negros.

Algunos filósofos han defendido que es nuestra intuición la que falla. Observar una manzana roja realmente incrementa la probabilidad de que todos los cuervos sean negros. Después de todo, si alguien te diese todas las cosas no-negras del universo, y pudieses ver que no hay ningún cuervo entre ellas, podrías concluir entonces que todos los cuervos son negros. El ejemplo solo desafía a la intuición porque el conjunto de cosas no-negras es con diferencia más grande que el conjunto de cuervos. Así, observar otra cosa no-negra que no sea un cuervo debería cambiar muy poco nuestra creencia en la teoría si lo comparamos con la observación de otro cuervo que sí sea negro.
Hay una alternativa al "principio de inducción" descrito anteriormente.

Este principio se conoce como "teorema de Bayes". Es una de las bases de la probabilidad y la estadística. Cuando los científicos publican análisis de resultados experimentales y obtienen que son significativos estadísticamente o no significativos estadísticamente, están usando este principio de forma implícita, por lo que podría afirmarse que este principio describe mejor el razonamiento científico que el "principio de inducción" original.

Si se usa este principio, no aparece la paradoja. Si pides a alguien que escoja una manzana al azar y te la muestre, entonces la probabilidad de ver una manzana roja es independiente del color de los cuervos. El numerador será igual al denominador, por lo que la división será igual a uno, y la probabilidad permanecerá inalterada. Ver una manzana roja no afectará a tu creencia de que todos los cuervos son negros.

Si pides a alguien que escoja una cosa no-negra al azar, y te muestran una manzana roja, entonces el numerador será superior al denominador por una diferencia mínima. Ver la manzana roja sólo aumentará ligeramente tu creencia de que todos los cuervos son negros. Tendrás que ver casi todas las cosas del universo (y comprobar que son no-cuervos) para que aumente de modo apreciable tu creencia en "todos los cuervos son negros". En ambos casos, el resultado es de acuerdo a la intuición.

sábado, 28 de agosto de 2010

Third International Congress on Tools for Teaching Logic

From June 1 to June 4 2011 we will organize the Third International Congress on Tools for Teaching Logic (TICTTL), in Salamanca, Spain. Previously, these events have also been organized in Salamanca, in 2000 and in 2006, and the webpages of these past events are http://aracne.usal.es/congress/congress.html and http://logicae.usal.es/SICTTL/. The webpage of TICTTL is http://logicae.usal.es/TICTTL/.

The congress will focus on a variety of topics including: logic teaching software, teaching formal methods, logic in the humanities, dissemination of logic courseware and logic textbooks, methods for teaching logic at different levels of instruction (secondary educuation, university level, and postgraduate), presentation of postgraduate programs in logic, e-learning, logic games, teaching argumentation theory and informal logic, pedagogy of logic.

Organizing Committee



Patrick Blackburn

Hans van Ditmarsch

María Manzano

Fernando Soler

Invited speakers and keynote software demonstrations



The following are the confirmed invited speakers or keynote software demonstrators. Full confirmation still depends on the ability of the Organizing Committee to obtain funds in due time.

Enrique Alonso, Universidad Autonoma de Madrid

Rod Girle, University of Auckland

David Gries, Cornell

Jim Henle, Smith College

Antonia Huertas, Universitat Oberta de Catalunya

Jan Jaspars, Netherlands

Raymundo Morado, Universidad Autonoma de Mexico

Keith Stenning, University of Edinburgh

Programme Committee



Jesús Alcolea Banegas

Atocha Aliseda

Colin Allen

Andrew Arana

Carlos Areces

Dave Barker-Plummer

Johan van Benthem

Krysia Broda

Begoña Carrascal

Susanna Epp

María José Frápolli Sanz

Dov Gabbay

Francisco José García Peñalvo

David Gries

Marcia Groszek

Jan Jaspars

Joost Joosten

Tamara Lakins

Fenrong Liu

Josje Lodder

Itala Loffredo D'Ottaviano

Huberto Marraud González

Concepción Martínez Vidal

Ángel Nepomuceno-Fernández

Manuel Ojeda-Aciego

R. Ramanujam

Bernard Sufrin

Luis Vega Reñón

Richard Zach

Call for Papers



Submission of Papers: 8th December 2010

Notification of Acceptance: 1st February 2011

Final Camera-Ready Submission Due: 1st March 2011

We are inviting submissions on the conference topics listed above, or on any other aspect of teaching logic or logic teaching software. We prefer 6 or 8 page submissions. Submissions must not exceed 8 pages. It is expected that each accepted paper be presented at the conference by one of its authors. Papers must be submitted electronically at the TICTTL EasyChair website, submission instructions will be posted in later CFPs.



The proceedings of TICTTL include invited papers, accepted full papers, and accepted 2-page short papers. The invited papers and full papers will be published prior to the conference as a volume in the LNAI-FOLLI series, a subseries of Springer's Lecture Notes in Computer Science. The short papers will be available prior to the conference on the conference website and will be included in the conference booklet.



Submissions need not be formatted in LNCS style! However, accepted full papers must be formatted in LNCS style, and must respect the page limit.





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viernes, 30 de julio de 2010

El convencionalismo de Wittgenstein, por Claudio Conforti

Convencionalismo de Wittgenstein.

Hay cuatro tesis que vamos a tratar de justificar en torno al convencionalismo de Wittgenstein, siguiendo la propuesta de Anastasio Alemán Pardo en su libro: Lógica, Matemáticas y Realidad. (Alemán Pardo, 2001)

I.- Los enunciados lógico-matemáticos tienen el carácter de regla de usos de los signos correspondientes.

II.- Tales reglas determinan, definen o constituyen el significado de los signos lógicos y matemáticos.

III.- Los enunciados de estas dos disciplinas funcionan como reglas de naturaleza convencional.

IV.- La tesis de que los enunciados lógico-matemáticos funcionan como reglas constitutivas del significado de los signos contenidos en ellos permite también dar cuenta de la característica de necesidad atribuida a tales enunciados.

Luego finalizando  analizaremos la noción de necesidad y prueba, para mostrar que el convencionalismo de Wittgenstein puede implicar arbitrariedad epistémica o no.

Los problemas no están en si con el término convencionalismo estamos describiendo o no la posición de Wittgenstein, sino en qué sentido cabe interpretar este termino de modo que ajuste a lo que Wittgenstein quería indicar con él.

( Que hay aquí problemas quedó patente en el artículo de Dummett, (1959) “La filosofía de la matemática de Wittgenstein”. Dummett llega a la conclusión de que hay que optar entre un convencionalismo inconsistente o un convencionalismo radical “difícil de tragar”. Cfr. Dummett, 1978.)

I.- La primera tesis que nos conduce al centro de la concepción wittgensteiniana de la lógica y de la matemática se formula así: las proposiciones matemáticas son realmente regla para el uso de cierto tipo de signos; las ecuaciones matemáticas son reglas de sustitución o intercambio entre las expresiones que aparecen entre el signo de identidad; y en lógica, tenemos reglas de inferencia, como es evidente a partir de los sistemas de deducción natural, de Gentzen, por ejemplo.

No es tan claro, que los cálculos matemáticos sean sistemas de reglas, ya que en ellos aparecen, además de las reglas de inferencia lógicas, axiomas de la teoría matemática. Sin embargo, Wittgenstein sostiene que los axiomas matemáticos o las proposiciones matemáticas en general, se usan como reglas gramaticales, en todos los aspectos relevantes, del mismo modo que las reglas lógicas.

“Tomarla [1x0=0] como una proposición primitiva es precisamente decidir tratarla como una regla” (Wittgenstein, 1975, 138)

“El enunciado matemático ‘52= 25’ nos da una regla que en enunciados empíricos nos permite poner ‘52’ en lugar de ‘25’” (Wittgenstein, 1975, 82)

“Considerar por ejemplo que ‘ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 tiene dos raíces’, o ‘el número de los números reales es mayor que el número de los racionales’ […] no parecen reglas sino proposiciones de la experiencia, pero intentaré mostrar que estos enunciados son reglas del mismo modo en que ‘2 + 2 = 4’” (Wittgenstein, 1975, 48)

“La proposición de la matemática tiene la dignidad de una regla. Esto es tanto más así cuando se dice que la matemática es lógica: sus movimientos son desde las reglas de nuestro lenguaje a otras reglas de nuestro lenguaje. Y esto le proporciona su peculiar solidez, su posición aparte e inexpugnable.” (Wittgenstein, 1987, I, 16).

Pero en la tesis de que los enunciados matemáticos son reglas hay una dificultad porque, la forma gramatical de tales enunciados no es como la de las reglas, sino la de las oraciones declarativas que podemos considerar verdaderas o falsas.

Pero, el hecho de que los enunciados matemáticos aparezcan formulados en forma declarativa, no constituye una razón suficiente para rechazar que tales enunciados expresen reglas. La forma gramatical (superficial) de una oración, no implica por si sola el tipo de contenido o lo que se llama la “fuerza ilocutiva”, expresada por la oración cuando se utiliza en determinado contexto.

Ya Wittgenstein había señalado la diferencia entre gramática superficial y gramática profunda en Investigaciones Filosóficas:

“En el uso de una palabra se podría distinguir una 'gramática superficial' de una 'gramática profunda'. Lo que se nos impone de manera inmediata en el uso de una palabra es su modo de uso en la construcción de la proposición, la parte de su uso — podría decirse — que se puede percibir con el oído. — Y ahora compárese la gramática profunda de las palabras «querer decir», por ejemplo, con lo que su gramática superficial nos haría suponer. No es de extrañar que nos sea difícil orientarnos.”(Wittgenstein, 1999, 664).

Volviendo entonces a los enunciados matemáticos, aunque poseen la forma gramatical de oraciones declarativas, lo que expresan son reglas y son realmente reglas porque se usan como reglas.

¿Cuál es la definición de regla que nos justifique a decir que los enunciados matemáticos son reglas?

Wittgenstein parece pensar que no hay propiedades comunes para todo lo que llamamos “reglas” (Wittgenstein, 1969, 116-118). El uso del término “regla” estará basado en lo que llamamos “parecidos de familia” es decir parecidos y analogías. Lo cierto es que no necesitamos apelar a una definición para justificar que los enunciados son reglas.

Si logramos demostrar que los enunciados matemáticos se comportan, en los aspectos relevantes como los enunciados declarativos que no dudamos en considerar reglas (como las reglas del ajedrez) entonces habremos encontrado un modo de justificar la tesis de Wittgenstein.

El argumento puede ser así:

Una oración declarativa como “El alfil se mueve en forma diagonal en el tablero” se usa para expresar una regla; esto es decir:

1) El alfil se mueve en forma diagonal en el tablero

Que puede considerarse como una paráfrasis abreviada de la oración más larga.

2) El término “alfil” es una abreviatura de “pieza que sólo puede ser movida en forma diagonal en el tablero ”

“2” expresa una regla definicional que permite el intercambio entre dos expresiones en cualquier descripción que se use cualquiera de esas dos expresiones y su equivalencia con “1”, resulta de la imposibilidad de aceptar 1 y rechazar 2 o viceversa.

Es decir, si “2” no expresase una regla del ajedrez entonces “1” sería falso o sin sentido, y si “1” fuese falso o sin sentido, entonces “2” no podría expresar una de las reglas de juego.

Podemos afirmar entonces que, la naturaleza de las distintas piezas del juego (el alfil, el rey, el peón) queda delimitada y agotada por las reglas que rigen su uso. Es en ese sentido en el que decimos que las reglas son constitutivas de la naturaleza de las piezas. La dama no es más que lo que las reglas la hacen ser; su naturaleza queda delimitada por las reglas de juego. Con esto claro podemos pasar a la tesis II.

II.- Aunque la matemática aparece formulada en oraciones con forma gramatical declarativa, por ejemplo, el enunciado aritmético:

1) 2+ 2 = 4

este enunciado puede considerarse como la abreviatura de una oración más larga

2) La expresión “2 + 2” puede ser intercambiada con la expresión “4”.

Y en esta última formulación aparece más explicito su papel como regla de intercambio de expresiones.

Su uso resulta equivalente en el siguiente sentido: Si la regla expresada mediante “2” es una de las reglas del sistema, entonces “1” es verdadera en el sistema, y si no hay tal regla, entonces “1” sería falso, o sin sentido en el sistema.

Quien rechace las equivalencias está atribuyendo un significado diferente a las expresiones involucradas. Hemos dicho “diferente” y no “incorrecto”. Wittgenstein subrayó una y otra vez que un uso diferente de los signos aritméticos (o, en general, de cualquier signo) no implica por sí que estemos haciendo algo incorrecto.

El resultado de todo esto es que, así como la naturaleza de las piezas del ajedrez queda delimitada y “agotada” por las reglas de juego, el significado de las expresiones matemáticas queda análogamente determinado por las reglas de uso de tales expresiones. Son las reglas las que fijan y constituyen el significado de las expresiones matemáticas y lógicas, por supuesto.

Que el significado de los signos matemáticos o lógicos queda determinado por las reglas de uso (abarcando los axioma y reglas de inferencia) del sistema al que pertenecen ha sido criticada por Susan Haack (1978), aunque ella se la atribuye a Quine y no a Wittgenstein.

 
( La crítica de Haack se centra en el caso de las conectivas lógicas, pero el alcance de su crítica resulta fácilmente transponible en el caso de los enunciados matemáticos, pues, en los aspectos relevantes la tesis que suscriben Wittgenstein y Quine pretende ser válida para uno y otro caso.)
 
Para ir pensando decimos que Quine afirma: “No hay esencia residual de la conjunción y de la disyunción, añadida a los sonidos, notaciones y leyes, en conformidad con las cuales una persona usa aquellos sonidos y notaciones” (Quine, 1970, p.81)

III.- Una tercera tesis del convencionalismo wittgensteiniano es que los enunciados de la lógica y de la matemática funcionan como reglas de naturaleza convencional.

“Supongamos que llamamos a ‘2 + 2 = 4’ la expresión de una convención. Esto es engañoso aunque la ecuación pudo haber sido originariamente el resultado de una. La situación con respecto a ella es comparable a la situación supuesta en la teoría de un contrato social. Sabemos que efectivamente no hubo tal contrato, pero es como si tal contrato se hubiese hecho. Similarmente para ‘2 + 2= 4’: es como si una convención hubiera sido hecha” (Wittgenstein, 1979)

“Tomemos ‘20 + 15 = 35’. Decimos que esto es acerca de números. Ahora bien, ¿es acerca de los símbolos, de las marcas? Esto es absurdo. No puede llamársele un enunciado o proposición acerca de ellos; si hemos de decir que es tal y tal acerca de ellos, podemos decir que es una convención acerca de ellos” (Wittgenstein, 1975).

“Los axiomas de la geometría tienen el carácter de estipulaciones concernientes al lenguaje en el que queremos describir objetos espaciales. Son reglas de la sintaxis. Las reglas de la sintaxis no son acerca de nada, son establecidas por nosotros.

Sólo podemos estipular algo que nosotros hacemos

Sólo podemos estipular reglas de acuerdo con las cuales nos proponemos hablar. No podemos estipular estado de cosas.” (Wittgenstein, 1979)

“Lo que llamamos ‘inferencia lógica’ es una transformación de la expresión. Por ejemplo, la conversión de una medida en otra […] pero ¿cuál es la realidad con la que ‘correcto’ acuerda aquí? Presumiblemente una convención, un uso, y quizás nuestras necesidades prácticas”. (Wittgenstein, 1987, I, 9)

Los textos dejan poco lugar a dudas de que la postura de Wittgenstein era convencionalista. Recordemos que los enunciados lógico matemáticos funcionan como reglas. El convencionalismo puede considerarse como la concepción filosófica que resulta de adjuntar el rótulo “convencional” a ciertos tipos de reglas (Alemán Pardo, 1994, pp. 27-49) (por ejemplo las reglas de inferencia lógicas) o enunciados (como los axiomas de geometría) que desempeñan un papel central en nuestra concepción del mundo. En una primera aproximación, podemos apreciar que “convencional” se aplica con sentido a una gran variedad de entidades, tales como cartas (“Me escribió una carta convencional”), trajes, oraciones (La oración “Un metro contiene cien centímetros” es convencionalmente verdadera), y reglas (“La regla de circular por la derecha es una convención”).

Wittgenstein usa preferentemente el término “convención” o “convencional” como un predicado aplicable a reglas y, de un modo secundario y derivado, como un predicado de enunciados y proposiciones. De este modo, las reglas pueden clasificarse como convencionales o como no-convencionales atendiendo a ciertas características apreciables en su uso. ¿Cuál es el criterio para determinar si una regla es convencional o no?

Wittgenstein emplea dos criterios:

1) Uno, basado en el modo de justificación de la regla.

2) Otro, basado en el propósito con el que se emplea la regla.

Sin embargo, tendremos ocasión de comprobar que no estamos frente a dos caracterizaciones independientes, sino más bien ante dos formulaciones equivalentes de un mismo criterio.

La formulación más clara que emplea Wittgenstein para determinar el carácter convencional de una regla es la que apela a “1” es decir, al modo de justificación de la regla. Así, una regla de representación será convencional si y sólo si, le representación obtenida siguiendo la regla no puede ser justificada por su acuerdo con la realidad:

“No llamo convenciones a las reglas de representación si pueden ser justificadas por el hecho de que una representación hecha en conformidad con ellas concuerde con la realidad. Por ejemplo, la regla “Pinte el cielo más luminoso que cualquier cosa que recibe luz de él” no es una convención”. (Wittgenstein, 1964, 18).

El predicado convencional se aplica a las reglas de ajedrez, y puesto que estas no son reglas de representación, admitimos que la aplicación de este predicado no puede estar restringida a reglas de representación.

Algunos ejemplos nos servirán para apreciar la equivalencia de criterio de distinción que apela a 1) modo de justificación de la regla y 2) el que apela al propósito de su empleo
En segundo lugar podemos observar que en la cita mencionada sólo se habla de reglas de representación. Sin embargo, creo que podemos ampliar el alcance de la definición evitando la restricción. Así podemos decir que una regla será convencional si y sólo si, el resultado obtenido siguiéndola no puede ser justificado por su acuerdo con la realidad (identificada sin emplear la regla)

Wittgenstein señala una diferencia entre las reglas de la gramática y de ajedrez de un lado y las reglas de la cocina de otro. Nos sentimos inclinados a llamar “arbitrarias” (o “convencionales”) a las primeras pero no así a las segundas.

“Porque creo que el concepto de ‘cocinar’ se define por el fin de cocinar y no creo que el concepto de ‘lenguaje’ se defina por el fin del lenguaje. Usted cocina mal si al cocinar se guía por reglas distintas de las correctas; pero, si usted, sigue otras reglas distintas del ajedrez está jugando otro juego, y si usted sigue reglas gramaticales distintas de tales y cuales, esto no significa que usted esté diciendo algo equivocado, no, usted está hablando otra cosa”. (Wittgenstein, 1969,184).

En claro contraste, con las reglas de cocina, están las reglas gramaticales y las reglas del ajedrez. En el caso de las reglas de ajedrez no tiene sentido preguntarse si al seguirlas obtendremos una buena jugada de ajedrez, porque si no las seguimos no estamos jugando al ajedrez, sino que estamos jugando a otro juego o a ninguno…

Es decir, las reglas de ajedrez definen, crean el juego; mientras que las reglas de cocina intentan guiar una práctica preexistente a la formulación de las reglas. Y es esta práctica previa la que nos permite hablar de la justificación de la regla, atendiendo a la comparación entre los resultados obtenidos al seguirla y un criterio de evaluación basado en tal práctica y determinado independientemente de la regla. (Wittgenstein, 1969, 192).

Para Wittgenstein hay un sentido en el cual se podría decir que las reglas del ajedrez no son convencionales (o arbitrarias). (Wittgenstein, 1969, 192). Esto ocurriría si tomamos como propósito del juego lograr, por ejemplo, el entretenimiento de los practicantes. En este caso lograr o no tal entretenimiento funcionaria como el test para justificar las reglas de juego. Es decir, si tomáramos el propósito de entretener como test de justificación de las reglas, entonces las reglas no serían convencionales, pues podrían ser justificadas apelando a este test determinado independientemente de las reglas. Por la misma razón, si no pretendemos que las reglas del ajedrez se justifiquen por los efectos que pueda producir su practica en nosotros, entonces tendremos que considerarlas convencionales.

Creo que es más clara y epistemológicamente preferible la formulación que apela al modo de justificación; pues sólo averiguaremos el propósito de empleo de una regla intentando determinar si será justificable o no, atendiendo a un test de evaluación determinado independiente de la regla.

Siendo fieles al estilo de Wittgenstein debemos decir que son las diferencias en usar ambos tipos de reglas, respecto a su posible justificación, lo que nos induce a considerar convencionales las segundas (las reglas del ajedrez) y no convencionales a las primeras (las reglas de cocina). En la definición propuesta solo pretendemos formular explícitamente tales diferencias.

¿Las reglas gramaticales son convencionales o no? Wittgenstein reitera, explícitamente, y en diferentes ocasiones, el carácter convencional de las reglas gramaticales. Así nos dice que “La gramática consiste en convenciones” (Wittgenstein, 1969,190). “Las reglas de la gramática son arbitrarias en el mismo sentido en el que lo es la elección de una

 Aunque parece que Wittgenstein emplea intercambiablemente los términos “arbitrario” y “convencional” en su contexto de discusión de las reglas gramaticales, no creo que ambos términos tengan el mismo significado. Hay contextos en que el término “arbitrario” parece querer indicar algo próximo a inútil, en
medida” (1969, 185), o nos habla del carácter convencional de la gramática de las palabras de color, (1964,53), o de que el lenguaje se basa en la convención, como en la siguiente cita, (1999, 355):

“No se trata aquí de que nuestras impresiones sensoriales pueden mentirnos, sino de que entendemos su lenguaje. (Y este lenguaje se basa, como cualquier otro, en la convención.)”

Las razones que ofrece Wittgenstein al calificar de convencionales (dice “arbitrarias”), a las reglas de la gramática, es que lo que estaríamos diciendo simplemente, es que el propósito de la gramática es el mismo que el del lenguaje:

“A las reglas de la gramática se las puede llamar «arbitrarias», si con ello se quiere decir que el propósito de la gramática es sólo el mismo que el del lenguaje.

Cuando alguien dice «Si nuestro lenguaje no tuviera esta gramática, no podría expresar estos hechos» — hay que preguntarse lo que significa aquí «podría»” (Wittgenstein, 1999, 497) cuanto carente de aplicación [Investigaciones Filosóficas: 520. “Incluso si una proposición se concibe como una figura de un posible estado de cosas y decimos que muestra la posibilidad de ese estado de cosas, con todo, la proposición sólo puede hacer, en el mejor de los casos, lo que hace una figura pintada o plástica, o también una película; y por lo tanto, en ningún caso puede representar lo que no es el caso. ¿O sea que depende enteramente de nuestra gramática a qué se llama (lógicamente) posible y a qué no — a saber, precisamente lo que ésta admite? — ¡Pero esto es arbitrario! — ¿Es arbitrario? — No con toda construcción proposicional sabemos qué hacer, no toda técnica tiene un empleo en nuestra vida, y cuando en la filosofía estamos tentados a contar entre las proposiciones algo completamente inútil, esto sucede a menudo porque no hemos reflexionado lo suficiente sobre su aplicación”.]; pero obviamente que una regla sea convencional no significa que carezca de aplicación

Pero por más que el propósito del lenguaje es influir en los seres humanos de tal o cual manera, no es lo que define el lenguaje y puesto que las reglas son arbitrarias en la medida en que no están definidas por los efectos (o influencia) que puedan producir en nosotros se dice que las reglas del lenguaje (las de su gramática) se dice que son arbitrarias o convencionales.

Otro argumento a favor de que las reglas de la gramática sean convencionales apela a la noción de justificación de las reglas y entonces coincide con la definición de regla convencional propuesta con anterioridad. Según esta definición para probar que las reglas de la gramática son convencionales lo que hemos de mostrar es que no pueden ser justificadas apelando a su acuerdo con la realidad (esto es, con una realidad determinada o identificada, independientemente de las reglas en cuestión)

La razón por lo que podemos justificar de ese modo las reglas gramaticales se pone especialmente de manifiesto cuando intentamos probar que estas o aquellas reglas, que seguimos en el uso de la palabra “no”, son las correctas para ella. Pues, como indica Wittgenstein, la cuestión no puede llegar a plantearse:

“No puede haber una cuestión respecto a si estas u otras reglas son las correctas para el uso de “no” (esto es, si ellas concuerdan con su significado). Pues sin estas reglas la palabra no tiene aún significado; y si cambiamos las reglas, tiene ahora otro significado (o ninguno) y en este caso podemos cambiar la palabra también”. (Wittgenstein, 1969, 185)

Es decir, no hay una realidad independiente de las reglas de uso de la palabra “no”- por ejemplo , el significado de la palabra “no”- que puede oficiar de test para justificar si la regla que se emplea es correcta o no, pues el significado que pueda tener la palabra quedará determinado por las reglas que seguimos para usarla.

Lo que Wittgenstein afirma es que si estas (o las que fueren) son las reglas que seguimos en nuestro uso del “no”, entonces no tiene lugar el problema de intentar justificarlas, por la sencilla razón de que no hay una realidad identificable independientemente de ellas que pudiera oficiar como test de justificación. Es decir no hay justificación para nuestro seguir esta regla o seguir aquella, pero sí la puede haber para nuestra afirmación de que estamos siguiendo esta o aquella regla. De ahí se desprende que, que si seguimos una regla diferente de las que habitualmente seguimos en el uso del “no” no estaremos diciendo nada incorrecto, sino, simplemente otorgando un sentido diferente (o ningún significado) a la palabra no.

Desde este punto de vista resulta más claro lo que hace la lógica intuicionista. Las reglas que propone y sigue el lógico intuicionista, para el manejo del signo de negación, (por ejemplo, no afirmar una proposición con dos signos de negación antepuestos a ella), no cabría considerarlas como correctas o incorrectas. Lo único que cabría decir es que, al seguir reglas diferentes a las del lógico clásico, está otorgando un significado diferente al signo negación. Como dice magníficamente Quine: “Cambio de lógica es cambio de tema” (Quine, 1977, 139).

Wittgenstein afirma que si estas (o las que fueren) son las reglas que seguimos en el uso de los términos, entonces ya no tiene sentido preguntar son o no correctas para el significado de estos términos, pues simplemente tales términos no tienen un significado independiente de tales reglas. Es decir, el significado de los términos no puede oficiar de test de corrección de las reglas, porque tales significados quedan determinados o constituidos por las propias reglas, como vimos en la tesis II.

En este sentido es que Wittgenstein dice que las reglas de la gramática son convencionales.

“La gramática no es responsable ante ninguna realidad. Son las reglas gramaticales las que determinan el significado (lo constituyen) y, así, ellas mismas no son responsables ante ningún significado, y, en este extremo, son arbitrarias” (Wittgenstein, 1969, 184)

Podemos decir que las reglas gramaticales son reglas constitutivas, como son las reglas de ajedrez; ambos tipos de reglas crean la posibilidad de realizar nuevos tipos de acciones irrealizables sin las reglas, por ejemplo, dar jaque o aconsejar. Sería carente de sentido preguntarse si las reglas del ajedrez son las correctas para dar jaque, como preguntarse si las reglas gramaticales son correctas para aconsejar, porque en definitiva, sólo empleando las reglas correspondientes pueden realizarse estos tipos de acciones. De este modo cabe concebir las reglas gramaticales como condiciones de posibilidad para realizar cierto tipo de acciones.

Aclarado esto volvemos a formular la pregunta: ¿son las reglas lógicas y matemáticas justificables como las reglas del ajedrez o como las reglas de cocina?

La respuesta de Wittgenstein es clara. Las reglas de la lógica y de la matemáticas son constitutivas, (como las del ajedrez) de los significados (tesis II) y así, los significados no pueden oficiar de test independiente de la corrección de las reglas. Por tanto, son convencionales (tesis III).

“Las reglas son arbitrarias en el sentido que no son responsables ante alguna clase de realidad: no son similares a las leyes naturales; ni son responsables ante algún significado que la palabra tenga previamente. Si alguien dice que las reglas de la negación no son arbitrarias porque la negación no puede ser tal que ‘¬¬ p = ¬ p’ , todo lo que puede significar es que la última regla no correspondería a la palabra inglesa “negación”. La objeción de que las reglas no son arbitrarias procede del sentimiento de que ellas son responsables ante los significados. Pero ¿cómo es definido el significado de negación si no es por la reglas? ‘¬¬ p’ no se sigue del significado de ‘no’ sino que lo constituye. Similarmente ‘[p ˄ (p → q)]’ no depende de los significados de ‘y’ e ‘implica’; constituye su significado” (Wittgenstein, 1979, 4)

Los diferentes sistemas lógicos tienen diferentes reglas convencionales, y no pueden ser justificadas apelando al significado de los signos.

En lo referente a la imposibilidad de usar el significado de los signos como test independiente de evaluación o justificación de las reglas, los enunciados aritméticos están en el mismo caso que los enunciados lógicos mencionados por Wittgenstein en la cita. Discrepar de la regla de intercambio entre la descripción de algo como “triángulo” y “figura plana cuyos ángulos suman 180°” implica atribuir un significado diferente a los signos envueltos. Las reglas son las constitutivas de sus significados.

Resumiendo la lógica y la matemática no describen nada; sólo sirven para transformar unas descripciones en otras de acuerdo con las reglas propias de cada cálculo concreto.

IV- La característica de necesidad atribuida a los enunciados lógico- matemáticos, deriva de que ellos funcionan como constitutivos del significado de los signos contenidos en ellos.

Solemos decir que ‘2 + 2 = 4’ es necesario porque su negación es imposible, o en lógica que ‘p ∨¬ p’ es necesario porque su negación es una contradicción. Wittgenstein aquí se limita a lo que puede haber explícito tras tales “afirmaciones” de necesidad. Introduce genialmente:

a) la necesidad en un sistema y

b) la necesidad de todo el sistema. (Wittgenstein, 1975, 241)

En el sentido interno la necesidad de un enunciado consiste en seguir las reglas de un sistema y de los axiomas, si los hay, por ejemplo en lógica clásica “p v ¬ p”. Debemos notar que la necesidad de este enunciado se debe a las reglas del sistema y no a la inversa. Sabemos que es necesario en lógica clásica pero no en lógica intuicionista.

La necesidad del enunciado en el sentido interno procede de nuestro usar el enunciado como regla constitutiva del significado de los signos envueltos.

¿Inferimos ‘fa’ desde ‘∀x (fx)’ porque es necesaria esta inferencia? No, simplemente inferimos ‘fa’ de ‘∀x (fx)’, y sostiene Wittgenstein “si no se sigue eso, entonces no eran todos” (Wittgenstein, 1987, I, 12). El término necesario no añade nada al mero seguirse.

En ese sentido dice Wittgenstein que la inexorabilidad de la lógica (su necesidad) procede de nuestra inexorabilidad al emplearla.

“[…] Hablamos ahora de la inexorabilidad de la lógica; y nos imaginamos, incluso más inexorables las leyes de la lógica que las de la naturaleza. Hacemos nota entonces que la palabra inexorable se usa de varios modos. A nuestras leyes lógicas corresponden hechos muy generales de la experiencia cotidiana. Son aquellos que nos posibilitan demostrar siempre, y cada vez, esas leyes de modo sencillo (con tinta sobre papel, por ejemplo). Pueden compararse con aquellos hechos que hacen felizmente realizable y útil la medición con el patrón metro. Ello nos sugiere el uso de esas leyes de inferencia, precisamente, siendo nosotros inexorables entonces en la aplicación de esas leyes. Porque nosotros ‘medimos’; y pertenece al medir el que todos tengan la misma medida. Pero además pueden diferenciarse leyes de inferencia inexorables, es decir, precisas, de leyes de inferencia imprecisas, o sea, de aquellas que nos permiten una alternativa”. (Wittgenstein, 1987, I, 118)

Por eso, aceptar la negación de cualquier cambio necesario entraña un cambio de significado del enunciado; y hacer esto no supone algo incorrecto sino hacer algo diferente.

Es fácil, entonces, entender el sentido de necesidad atribuida al sistema como un todo. De su noción de los enunciados lógicos y matemáticos como constitutivos del significado de los signos se desprende que esta noción externa de necesidad (de un sistema, ya sea lógico o matemático) encuentra una dificultad: decir que el sistema es necesario para representar la naturaleza de los “objetos” lógico o matemáticos, no sirve.

De ahí que Wittgenstein, solo hable de posible necesidad de un sistema como un todo a través de la atribución de la necesidad a cada una de sus reglas.

Dejo acá... queda preguntarnos si en convencionalismo de Wittgenstein, implica arbitrariedad epístemica.

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jueves, 29 de julio de 2010

El fundamento último de la objetividad de la Lógica, por el Dr. Gabriel Zanotti

EL FUNDAMENTO ULTIMO DE LA OBJETIVIDAD DE LA LOGICA
Para Studium “El fundamento último de la objetividad de la lógica”, en Studium, Tomo I, 1998, Fas. I.


1. Introducción.

De todos los temas de filosofía de la lógica, su “objetividad” es, en nuestra opinión, uno de los más importantes. Globalmente, se trata de saber el status ontológico de leyes lógicas tales como “ [(p q) . p ] q”. La pregunta filosófica no pasa por la demostración algorítmica de dicha ley -muy conocida, por otra parte- sino por la sencilla y a la vez difícil pregunta: qué es eso? Desde Aristóteles, pasando por los megáricos-estoicos, siguiendo por Santo Tomás, y llegando a Kant, Stuart Mill, Frege, Husserl y Quine, las respuestas han sido muy variadas, a pesar de la coincidencia global en los solos aspectos lógicos del tema (las normas del silogismo condicional, las “tablas de verdad”, etc).

Las implicaciones de este tema son vastas. La lógica es frecuentemente un punto de partida común a muchos debates filosóficos. Pero si la lógica misma es objetada en cuanto a su objetividad, si la lógica misma no es más que una proyección -del tipo que fuere- de la mente del sujeto, para qué seguir argumentando? En esta época, donde la desconfianza hacia la razón es una posición que paradójicamente se autorazona a sí misma, y en la cual ciertos remanentes del positivismo parecen ser la única respuesta a dicha desconfianza, opinamos que la restauración de una metafísica racional es la superación a esa dialéctica. Y, por ende, la restauración de una lógica objetiva, con fundamento “in re”, es una tarea concomitante a dicha superación.

2. Hacia una reelaboración del cuadro de Alfredo Deaño.

En su obra Las concepciones de la lógica , Alfredo Deaño, luego de un prolijo y erudito rastreo histórico, elabora un cuadro de posiciones con respecto a la pregunta menos tratrada en los libros y manuales de lógica: qué es. Remitimos al lector a dicha exposición, en nuestra opinión brillante. Nosotros la reelaboraremos con otra terminología.

En principio, podríamos distinguir dos grandes corrientes en las concepciones de la lógica: la empírica y la metaempírica. La primera es aquella según la cual la lógica es una ciencia que no tiene una diferencia esencial con las ciencias empíricas -léase: testeo empírico- por más particular que fuera su ubicación dentro de dichas ciencias. Dentro de esta corriente podemos distinguir al psicologismo (Mill), y al ultraempirismo, dividido a su vez en pragmático (Dewey) y teórico (Quine).

En las concepciones metaempíricas, al contrario, la lógica tiene un carácter “irreductible” -al decir de Deaño- con las ciencias que emplean el método hipotético-deductivo. Dentro de esta corriente encontramos dos grandes divisiones: la realista y la subjetivista. Al realismo lo dividiremos a su vez en exagerado y moderado. El primero considera que las leyes lógicas son “objetos en sí mismos” que tienen independencia del acto de pensamiento del sujeto. Platón sería el ejemplo paradigmático de esta posición. El segundo considera que la lógica está constituída por algún tipo de entes con algún tipo de fundamento en realidad, pero no son independientes de un acto de pensamiento del sujeto. Santo Tomás es en este caso el caso paradigmático. Autores como Husserl, Frege y Popper se encontrarían a mitad de camino entre ambas posiciones.

El subjetivismo no encuentra en la lógica nada que esté más allá -esto es, como un “fundamento”- del sujeto que piensa. El subjetivismo puede ser kantiano o positivista, según se considere, respectivamente, que la lógica está dada por categorías a priori universales o por leyes sintácticas que sigan reglas de formación de determinado sistema de signos, de los cuales unos tienen una relación de inferecia de otros.

Tenemos así siete posiciones básicas, en las cuales, como señala Deaño, se puede observar que desde la empírica-ultraempirista-teórica hasta la metaempírica-realista-exagerada hay una carga creciente de reflexión ontológica.

Cuál de estas posiciones es la correcta? En nuestra opinión, la metaempírica-realista-moderada. Pero, cómo lo fundamentamos? Para ello debemos seguir con los siguientes puntos.

3. La no-contradicción como un trascendental del ente.

Ante todo, queremos advertir que no estamos hablando en este caso de una no-contradicción lógica, sino ontológica (si no hiciéramos esta aclaración, una brizna de Hegel se filtraría en nuestro pensamiento). Esto es, así como todo ente, sólo por ser ente, es uno, en cuanto no-dividido en acto; es verdadero, en cuanto capaz de ser conocido, es bueno, en cuanto capaz de ser apetecido -según la conocida tesis ontológica de los trascendentales, como agregados de razón al ente, establecida por Santo Tomás en De Veritate, Q. 1, art. 1-, así también todo ente, en cuanto tal, es no-contradictorio, sencillamente porque no puede ser y no ser al mismo tiempo y bajo el mismo respecto.

Aclaremos más este punto. Como se puede observar, estamos dando un paso más. Santo Tomás establece claramente, en la obra citada, que la predicación trascendental implica agregados de razón al ente real, puesto que todo es ente real. Nada que se le anada se diferencia realmente, y por eso los trascendentales se expresan con la fórmula “en cuanto”. Esos agregados de razón son “specialis modus entis”, y entonces se habla de sustancia y accidentes, y “generatiter consequens omne ens”. Los “trascendentales” en cuanto “convierten” con el ente, son sólo estos últimos “generaliter...”, pues si bien todo ente real finito es sustancia o accidente, no todo ente real finito es sustancia, ni todo ente real finito es accidente; y, por otro parte, Dios es subsistente pero no sustancia en cuanto sustancia primera como modo de ser finito. En cambio, todo ente es uno, algo, verdadero, res, uno... Y Dios es la plenitud de cada trascendental de modo eminente.

Y nuestro paso adicional es decir que la no-contradicción del ente es un trascendental del ente en este último sentido. Es decir, todo ente, desde Dios a las creaturas, es no-contradictorio en sí. No es una propiedad lógica, sino un trascendental del ente. Nuestro intelecto puede captar que el principio de no-contradicción es el primer principio . Pero si realiza esta captación, es porque el mismo actus essendi de cada ente finito -via inventionis - es no-contradictorio. Por eso se afirma “de la cosa real” que no puede ser al mismo tiempo y bajo el mismo respecto. “Al mismo tiempo” analógicamente considerado. Esto es, ya sea en el tiempo finito de la creatura, ya sea en el eterno presente de Dios. “Bajo el mismo respecto” en el sentido del aspecto de la esencia del algo de la esencia de la cosa real .

Por ende, todo ente, en cuanto no puede ser y no ser al mismo tiempo y en el mismo sentido, es no-contradictorio, lo cual constituye un trascendental del ente. La no-contradicción radica en lo más profundo de la realidad misma: el actus essendi.

4. La captación gnoseológica de la no-contradicción.

Una vez que la inteligencia humana conoce, capta la no-contradicción de lo real. Esto es, la no-contradicción no es una categoría a priori impuesta por la inteligencia en las cosas, sino al contrario. Es el mismo ente en cuanto no contradictorio que es captado como objeto propio del intelecto. Y, dado que el ente se capta “judicativamente”, no es extraño que el primer principio “per se nota ad omnes” captado y elaborado por la inteligencia humana, ya a nivel gnoseológico -esto es, como algo de la realidad que es conocido- sea el ppio. de no contradicción.

El ente es en sí judicativo. En la famosa discusión sobre la “separatio” hay un detalle que a nuestro juicio se ha escapado. Este “detalle” no es afirmado explícitamente por Santo Tomás. Consiste en que gnoseológicamente, “antes” de que el intelecto “separe” al ente de la materia, en cuando el ente puede ser no material, hay un jucio afirmativo implícito en la captación del ente: el “quod est”, indicando allí, el “est” la captación del atus essendi. Es “después” (gnoseológicamente, no temporalmente) de este juicio afirmativo implícito que el intelecto dos juicios negativos, cuando intuye que el ente “no es necesariamente corpóreo” y que “no es necesariamente incorpóreo”. Y decirmos “intuye”, y no “concluye”, porque la noción judicativa del ente (id quod est) no implica en sí ni la afirmación ni la negación de lo corpóreo.

Es entonces cuando el intelecto intuye la no contradicción y la expresa como el primer principio, como decíamos antes. El “est” implica la negación del “non est” al mismo tiempo y en el mismo sentido. Lo importante es distinguir entre la no-contradicción como propiedad trascendental del ente y su expresión gnoseológica. Esta última es el principio de no-contradicción como primer principio del intelecto. Su fundamento “in re” radica en la no-contradicción como trascedental del ente.

5. La captación lógica de la no-contradicción.

Cuando la inteligencia da una segunda vuelta sobre lo conocido como “prima intentio” llega al ente de razón de “secunda intentio”, donde se ubica ontológicamente a la lógica . Según un conocido ejemplo, si decimos “Juan es bueno”, estamos en un primer nivel, de tipo gnoseológico, en el cual a través de conceptos y proposiciones llegamos a la realidad misma. Pero, si decimos “Juan es sujeto de la proposición ‘Juan es bueno’”, entonces ponemos al término “Juan” en un segundo nivel, esto es, la inteligencia da una segunda mirada sobre el término Juan, ya no como expresión del concepto a través del cual conocemos a Juan, sino como una propiedad del término en sí misma: ser sujeto de; ser predicado de. De igual modo, “ser premisa de”; “ser conclusión de” son “secunda intentio”, una segunda mirada que la inteligencia da sobre las proposiciones, indicando una propiedad de ellas que sólo se da en la inteligencia de quien conoce: que unas se infieren de las otras. Por todo esto la no-contradicción tiene su expresión lógica como una propiedad secundo-intencional de las proposiciones: la proposición “todo S es P” es premisa de la conclusión “es falso que algún S no es P” dado que las proposiciones A y O y E e I no pueden ser verdaderas y falsas a la vez.

Lo importante de esto es: de dónde emana que dichas proposiciones no puedan ser verdaderas y falsas a la vez? Del principio de no-contradicción gnoseológicamente captado. Y este, a su vez, surge de la no-contradicción del ente. Por eso la lógica trata con entes de razón que tienen su fundamento último (“remoto”) en la realidad misma, sin confundirse con ella.

6. La captación lógico-matemática del ppio. de no contradicción.

Ya una vez demostramos que la lógica-matemática no tiene un objeto formal distinto al de la lógica no-matemática . La esencia de la argumentación es la siguiente. Sea el siguiente razonamiento: si Juan estudia lógica, se divierte; ahora bien, Juan estudia lógica; luego, se divierte. Este es un sencillo razonamiento condicional modus ponendo ponens donde la inteligencia capta a las premisas como secundo intentio con respecto a la conclusión, que es secundo intentio con respecto a las premisas. Ahora bien, la expresión lógico matemática del razonamiento es <[(p q) . p] q>. Se ha perdido allí la secundo intentio, como relación de razón entre conceptos objetivos? No, porque si bien los conceptos - expresados en proposiciones- no están expresados con constantes semánticas, sin embargo se guarda la esencia del razonamiento en su forma sintáctica, pues lo fundamental de la lógica matemática es la formalización de conectivas extensionales, más los términos sincategoremáticos intraposicionales, a nivel sintáctico. Y ese nivel mantiene una relación potencial al nivel semántico, en el cual se dan proposiciones. Esto es: la forma proposicional <(x) (Sx Px)> tiene una relación potencial con una proposición (con significación semántica: “todo hombre es racional”) que la sustituya, donde se da la secunda intentio (en este caso, “S” simboliza a “hombre” y “P” a “racional”, y “(x)” es la cuantificación universal que simboliza al término sincategoremático intraposicional “todo”. O sea que la lógica matemática es la secundo intentio expresada a nivel sintáctico . Esto se cumple el menos para la lógica proposicional y la lógica de predicados .

Siendo esto así, podemos decir que, dado que ninguna proposición puede ser verdadera y falsa a la vez y en el mismo sentido, dadas las reglas de formación de la lógica proposicional podemos expresar de este modo el ppio. de no-contradicción: “ - (p . -p)”. Ahora daremos un paso importante: este principio es el fundamento de la ley lógica básica de derivación, a saber, el modus ponendo ponens (MPP). Veremos cuál es la importancia de todo esto.

7. El fundamento del condicional material simple y el MPP.

De todas las funciones de verdad de la lógica proposicional, el condicional material simple, ya desde la escuela megárico-estoica, ha sido el más debatido. En efecto, en la famosa “tabla de verdad” del condicional material simple, el único caso en el cual la proposición en cuanto tal es falsa es si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Pero esto, a su vez, por qué?

Bochenski nos detalla la historia de este debate. Para la “implicación filónica”, la proposición implicativa es verdadera cuando no comienza con una proposición verdadera y concluye en una falsa. Diodoro lo discute incluyendo la cuestión temporal, porque puede ser que “si lo primero, entonces lo segundo ” no sea verdadero aún cuando lo primero sea verdadero, si lo primero es verdadero “ahora” y lo segundo es falso “después”.

La implicación filónica es la que se ha mantenido hasta nuestros días, sencillamente porque en la lógica proposicional tradicional no se ha introducido la cuestión temporal sino en cuando a una “lógica extendida” . Ahora bien, para nosotros la implicación filónica es la correcta. Por qué?

La razón radica precisamente en el principio de no contradicción, donde la aclaración “al mismo tiempo” está sobreentendida. Un condicional material simple no es más que una afirmación condicionada. Decir “si p, entonces q” es lo mismo que decir “q, si p”, y por ello es contradictorio que si p, entonces no-q. La definición del sequitur -esto es, “(p q) - (p . -q)” tiene el mismo fundamento. Y este es, a su vez, el fundamento del MPP: “[(p q) . p] q” se basa precisamente en que afirmado el antecedente, sería contradictorio no deducir el consecuente.

Y en qué radica, a su vez, la importancia básica de esta cuestión? En que si el MPP no fuera lógicamente verdadero, toda la lógica formal carecería de fundamento, dado que su esencia es, precisamente, inferir deductivamente la conclusión (consecuente) de la premisa (antecedente) sólo en “virtud de la forma” en la cual están articuladas las proposiciones. Ahora bien, por qué el MPP tiene una forma lógica tal que el consecuente se infiere necesariamente de las premisas establecidas? Si no hubiera una respuesta para esa pregunta, no hay respuesta para la lógica misma, sencillamente. Y hemos visto que la respuesta se basa en el principio de contradicción.

Ahora bien, si nos remontamos de abajo hacia arriba, ontológicamente, vemos la siguiente secuencia: el MPP se basa en el ppio. lógico-matemático de no-contradicción; éste, a su vez, en el ppio. de no-contradicción de la lógica no-matemática; éste, a su vez, en la expresión gnoseológica del principio de no-contradicción, y ésta, a su vez, en la no-contradicción como trascendental del ente. Luego, el fundamento último de la objetividad de la lógica se basa en la no-contradicción de la realidad misma.

8. Implicaciones de este tema para antropología filosófica.

Santo Tomás ha sido claro cuando demostró la no-materialidad de la inteligencia humana por la inmaterialidad de sus objetos. Ahora bien, en esta firmeza y “solidez” de las leyes lógicas, en esta inmutabilidad y absoluta necesidad que tanto impresionaron a Lukasiewicz , vemos la inmaterialidad del ente de razón lógico. La famosa frase “dadme una palanca y moveré al mundo” se aplica sólo a lo material. Ninguna palanca puede “mover”, “cambiar” al MPP y/o a cualquier otra ley lógica. Su necesidad es tal que supera la contingencia intrínseca de lo material. Luego, que la inteligencia humana pueda captar la necesidad de la validez lógica es otra vía de demostración de su inmaterialidad.

Es curioso que uno de los argumentos más conocidos de Santo Tomás para probar la inmaterialidad de la inteligencia tenga una forma lógica clarísima. Es un condicional modus tollendo tollens: “Nada obra de manera diversa de la que corresponde a su especie, ya que la forma es en cada uno principio del obrar. Por lo tanto, si el entendimiento fuese cuerpo, su acción no excedería el orden de los cuerpos. Luego, no entendería sino los cuerpos. Y esto se ve que es falso; pues entendemos muchas cosas que no son cuerpos. Por lo tanto el entendimiento no es cuerpo” .

Si lo resumimos, dice que si la intelgencia fuera corpórea, no conocería sino cuerpos; pero es así que no es verdad que no conoce sino cuerpos; luego la inteligencia no es cuerpo. Asombroso: un límpido ejemplo de “si p, entonces q; pero no-q; luego, no-p”. La curiosidad y asombro que esto nos produce es que Santo Tomás demuestra que la inteligencia no es corpórea con una belleza y simplicidad lógica completa, y, a la vez, entre esos “no-cuerpos” captados por el intelecto se encuentran precisamente esas secundo-intentio tan bellas, límpidas y simples.

Popper ha visto este punto también, justamente cuando advierte la inmaterialidad e “indeterminismo” del mundo 3. En su metafísica, Popper distingue el mundo de lo físico no humano (mundo 1); la esfera de la conciencia (mundo 2) y la esfera de los “productos objetivos” de la conciencia humana: el mundo 3 . Este mundo es, para Popper, objetivo en cuando comunicable y criticable, pero es comunicable y criticable porque es un mundo de proposiciones que son verdaderas o falsas “en sí mismas” y de argumentos que son válidos o inválidos “en sí mismos” más allá de la voluntad o psicología del sujeto cognoscente. Y ese mundo es, por ello, sigue argumentando Popper, inmaterial. Si la función descriptiva (verdad) y argumentativa (lógica) del lenguaje humano fuera un proceso material de acción y reacción, estaríamos “determinados” de tal modo que argumentar a favor del determinismo sería auto-contradictorio: para qué argumentar a favor de algo que el contraopinante está “programado” a estar en contra? “Si el determinismo ‘científico’ es verdadero -dice Popper - no podemos, de manera racional, saber qué es verdadero; lo creemos, o no lo creemos, pero no porque juzguemos libremente que los argumentos o razones en su favor son correctos, sino porque estamos determinados (o programados) para creerlo, o no creerlo, o incluso para creer que lo juzgamos y lo aceptamos racionalmente”. Más allá de la interesante conexión entre el mundo 3 de Popper y las “esencias en sí” husserlianas (conexión no advertida por Popper), hemos citado su caso para que se oberve que una lógica objetiva es la base de deducción de una inteligencia no material (y la libertad interior) en Popper.

9. Implicaciones teológico-naturales.

En otra oportunidad , hemos argumentado así: “El ser de Dios se demuestra a partir de la composición metafísica del ente finito. El ente finito está realmente compuesto por dos coprincipios que constituyen uno: el coprincipio potencial, participante, y el coprincipio actual participado. Esto es, esencia y acto de ser. Ambos constituyen el ente participado, en términos de Tomás, o el ser limitado, en otros términos. Ello constituye una participación horizontal (de la esencia al acto de ser) que da como resultado, en nuestros términos, una contingencia metafísica absoluta: el principio potencial no implica necesariamente al coprincipio actual. De allí surge la causalidad metafísica: en todo aquello donde se distingan realmente esencia y ser, el ser está causado por otro. En otro términos, lo contingente no puede ser el origen ontológico de lo no-contingente. Pero es así que existen entes contingentes (en el sentido de contingencia metafísica absoluta). Luego, deben estar causados por lo no-contingente, que, por consecuencia, no tiene distinción real entre esencia y ser; su esencia es su ser y es necesario absolutamente. A tal necesario absoluto lo llamamos Dios”.

Obsérvese que en esta argumentación -inspirada en el cap. V de De Ente et Essentia - el principio de no contradicción es esencial. Una vez que llegamos a la conclusión de que el ente finito es causado por otro, quedan sólo dos posibilidades , por principio de no contradicción: que el otro sea finito o que no lo sea. Ahora bien, es contradictorio que lo contingente sea causa del actus essendi de lo contingente. Luego, el otro es no-contingente. Y, por principio de no contradicción, lo no-contingente tiene características contradictorias a lo contingente (en lógica modal, lo necesario y lo contingente son contradictorios). Luego se concluye que su esencia es igual a su acto de ser y que es necesario absolutamente. Lo cual es nada más ni nada menos que la simplicidad divina...

Ahora bien, si el principio de contradicción no fuera objetivo, si no tuviera su fundamento último en la no contradicción del ente real, si fuera sólo una categoría a priori proyectada sobre lo real (lo cual ya es mucho para las filosofías de la lógica empíricas), entonces, qué queda de la demostración racional del ser de Dios? Nada. Lo cual sería el triunfo tanto del neopositivismo como del postmodernismo, para los cuales el enemigo común es una metafísica racionalmente fundada. Esto es, la metafísica como el analogante de las ciencias .

10. Conclusión final.

Repasemos entonces nuestra argumentación. El ppio. básico de derivación de la lógica se basa en el ppio. lógico de no-contradicción; éste, en la captación gnoseológica de la no-contratricción, y ésta, a su vez, en la no-contradicción de la realidad misma. Lógicamente, quien niegue esta premisa, deberá negar nuestra conclusión. Pero, sobre qué bases objetivas descansará su válida negación?



Gabriel J. Zanotti

Universidad Del Norte Santo Tomás de Aquino

Buenos Aires, Mayo de 1998.

Independence-friendly logic (IF logic)

Independence friendly logic (IF logic, IF first-order logic) is an extension of first-order logic. In it, more quantifier dependencies and independencies can be expressed than in first-order logic. Its quantifiers range over individuals only; semantically IF first-order logic, however, has the same expressive power as existential second-order logic. IF logic lacks certain metaproperties that first-order logic has (axiomatizability, Tarski-type semantics). On the other hand, IF logic admits a self-applied truth-predicate—a property that first-order logic notoriously does not enjoy. Philosophical issues discussed in connection with IF logic include reformulating the logicist program, the question of truth in axiomatic set theory, and the nature of negation in logic and in natural languages. There have been attempts to apply the IF logical framework beyond IF first-order logic itself, notably to propositional logic and modal logic.

martes, 27 de julio de 2010

Formal Semantics

Formal semantics is the study of the semantics, or interpretations, of formal and also natural languages. A formal language can be defined apart from any interpretation of it. This is done by designating a set of symbols (also called an alphabet) and a set of formation rules (also called a formal grammar) which determine which strings of symbols are well-formed formulas. When transformation rules (also called rules of inference) are added, and certain sentences are accepted as axioms (together called a deductive system or a deductive apparatus) a logical system is formed. An interpretation is an assignment of meanings to these symbols and truth-values to its sentences.

The truth conditions of various sentences we may encounter in arguments will depend upon their meaning, and so conscientious logicians cannot completely avoid the need to provide some treatment of the meaning of these sentences. The semantics of logic refers to the approaches that logicians have introduced to understand and determine that part of meaning in which they are interested; the logician traditionally is not interested in the sentence as uttered but in the proposition, an idealised sentence suitable for logical manipulation.

Until the advent of modern logic, Aristotle's Organon, especially De Interpretatione, provided the basis for understanding the significance of logic. The introduction of quantification, needed to solve the problem of multiple generality, rendered impossible the kind of subject-predicate analysis that governed Aristotle's account, although there is a renewed interest in term logic, attempting to find calculi in the spirit of Aristotle's syllogistic but with the generality of modern logics based on the quantifier.


The main modern approaches to semantics for formal languages are the following:

Model-theoretic semantics is the archetype of Alfred Tarski's semantic theory of truth, based on his T-schema, and is one of the founding concepts of model theory. This is the most widespread approach, and is based on the idea that the meaning of the various parts of the propositions are given by the possible ways we can give a recursively specified group of interpretation functions from them to some predefined mathematical domains: an interpretation of first-order predicate logic is given by a mapping from terms to a universe of individuals, and a mapping from propositions to the truth values "true" and "false". Model-theoretic semantics provides the foundations for an approach to the theory of meaning known as Truth-conditional semantics, which was pioneered by Donald Davidson. Kripke semantics introduces innovations, but is broadly in the Tarskian mold.

Proof-theoretic semantics associates the meaning of propositions with the roles that they can play in inferences. Gerhard Gentzen, Dag Prawitz and Michael Dummett are generally seen as the founders of this approach; it is heavily influenced by Ludwig Wittgenstein's later philosophy, especially his aphorism "meaning is use".

Truth-value semantics (also commonly referred to as substitutional quantification) was advocated by Ruth Barcan Marcus for modal logics in the early 1960s and later championed by Dunn, Belnap, and Leblanc for standard first-order logic. James Garson has given some results in the areas of adequacy for intensional logics outfitted with such a semantics. The truth conditions for quantified formulas are given purely in terms of truth with no appeal to domains whatsoever (and hence its name truth-value semantics).

Game-theoretical semantics has made a resurgence lately mainly due to Jaakko Hintikka for logics of (finite) partially ordered quantification which were originally investigated by Leon Henkin, who studied Henkin quantifiers.

Probabilistic semantics originated from H. Field and has been shown equivalent to and a natural generalization of truth-value semantics. Like truth-value semantics, it is also non-referential in nature.

Linguists rarely employed formal semantics until Richard Montague showed how English (or any natural language) could be treated like a formal language. His contribution to linguistic semantics, which is now known as Montague grammar, forms the basis for what linguists now refer to as formal semantics.


The Cambridge Dictionary of Philosophy, Formal semantics

viernes, 16 de julio de 2010

Philosophical logic - Philosophy of logic (según el Dicc. de Roy T Cook)

PHILOSOPHICAL LOGIC

 Philosophical logic involves the use of
formal systems as a tool for solving, or contributing to the solution
of, philosophical problems (which might, or might not, involve
arguments or reasoning). Thus, it differs from philosophy of
logic, which is the philosophical study of formal systems as models
of the consequence relation.



PHILOSOPHY OF LOGIC
Philosophy of logic is the philosophical
study of formal systems as models of the consequence relation.
Thus, it differs from philosophical logic, which is the use of formal
systems in attempts to solve philosophical problems.

miércoles, 14 de julio de 2010

Lojban, idioma lógico, Basado en LPO (primer acercamiento Wikipedia)

Lojban (AFI /ˈloʒban/) es un idioma construido, más exactamente una lengua lógica, basado en la lógica de primer orden (lógica predicativa) creada por el Logical Language Group en 1987. Su predecesor es el Loglan, el lenguaje lógico original creado por James Cooke Brown.

El desarrollo del lenguaje lo inició en 1987 el Logical Language Group (Grupo del Lenguaje Lógico), que intentaba lograr los propósitos del Loglan, así como complementar el lenguaje haciéndolo más práctico, y libremente disponible. Después de un largo período de debates y pruebas, la base fue completada en 1988 con la publicación del The Complete Lojban Language (El Lenguaje Lojban Completo).

El nombre lojban es una combinación de loj y ban, que son las formas cortas de logji (lógica) y bangu (lenguaje) respectivamente. Lojban es un lenguaje hablado, usado para la comunicación entre personas. Aún siendo capaz de expresar los conceptos lógicos más complicados, es altamente flexible. Dependiendo del grado que el hablante desee, puede parecerse a un lenguaje natural o a un lenguaje de programación, o a otros idiomas construidos, pudiendo ser semánticamente ambiguo, poético, preciso o neutral.

Las principales fuentes del vocabulario básico son los seis idiomas más hablados del mundo: chino mandarín, inglés, hindi, español, ruso, y árabe, escogidos para aumentar la familiaridad de las palabras a personas con diversos entornos lingüísticos. El lenguaje tomó componentes de otros lenguajes construidos, un ejemplo notable es el conjunto de indicadores del Láadan. También Toki Pona y el Esperanto son similares al Lojban en cierta medida.

 Historia
 Orígenes (1955 - 1987)

El predecesor del lojban, Loglan, fue inventado por James Cooke Brown en 1955 y desarrollado por el Instituto Loglan. El Loglan fue inicialmente concebido como un medio para examinar la influencia del lenguaje en el pensamiento del sujeto (una tesis conocida como la hipótesis de Sapir-Whorf).

Al empezar Brown a reclamar derechos de autor sobre los componentes del lenguaje, las actividades de la comunidad de Loglan quedaron restringidas. Con el propósito de evitar este control, un grupo de personas decidieron iniciar un proyecto separado. Separándose de la base léxica del Loglan y reinventando todo el vocabulario, lo que dio lugar al léxico actual del lojban. Este grupo de personas estableció en 1987 el Grupo del Lenguaje Lógico, con sede en Washington DC. También ganaron un juicio acerca de si podían llamar "Loglan" a su versión del lenguaje.

 El período de congelamiento (1997 -2002)

Después de la publicación de El lenguaje lógico completo, se esperó que "El léxico documentado se establezca, y la combinación del léxico y la gramática comprensiva se congele por un período mínimo de 5 años mientras el uso del lenguaje crezca"[1] Como quedó establecido, este período, al que se ha llamado oficialmente el "congelamiento", expiró en 2002. Los hablantes de Lojban ahora son libres de construir sus propias palabras y expresiones, y de decidir hacia dónde va el lenguaje.

 Principales características
El Lojban conserva muchas de las características de Loglan:
Su gramática está basada en la lógica de predicados, diseñado para expresar construcciones lógicas complejas con precisión.

No tiene irregularidades ni ambigüedades en la ortografía ni la gramática. Esto da lugar a una gran claridad para su análisis sintáctico por computadora.

Se habla exactamente de la forma en que se escribe. Por ejemplo, existen varias palabras equivalentes al signo ? utilizado en diferentes idiomas para señalar una pregunta al final de la misma. En español no existe una forma hablada de este símbolo, las preguntas se indican mediante un cambio en la entonación al inicio de la oración para hacerla interrogativa.

Está diseñado para ser culturalmente neutro.

Sus morfemas básicos fueron tomados de elementos comunes o combinados de los seis idiomas más hablados (en el momento de su elaboración): chino mandarín, inglés, Hindi, español, ruso y árabe; reconstruidos según las normas fonéticas y gramaticales.

Permite un uso y aprendizaje sistemático, comparado con los lenguajes naturales.

Posee un sistema intrincado de indicadores que efectivamente comunica actitudes y emociones.

La simplicidad no es un criterio de su diseño.

Aunque el objetivo inicial era investigar la hipótesis de Sapir-Whorf, la comunidad del Lojban tiene objetivos adicionales, tales como:

Investigación genérica sobre lingüística.

Investigación en inteligencia artificial y comunicación con máquinas.

Mejor interacción humana con los ordenadores, almacenamiento de ontologías y traducción automática de idiomas naturales.

Uso posible como lengua auxiliar internacional

Uso del idioma para la educación.

Creatividad personal.

 Gramática
 Fonología

El Lojban usa el alfabeto latino (existen otras formas de escribirlo, pero son poco frecuentes). El alfabeto en Lojban consta de 17 consonantes, 6 vocales y 3 caracteres auxiliares (' , .) que no son signos de puntuación. La mayoría de ellas tiene una única pronunciación aunque se permiten algunas pronunciaciones alternativas para facilitarle la pronunciación a hablantes de distintas lenguas. También tiene 16 diptongos (y ningún triptongo). El apóstrofo (') se utiliza cuando dos vocales no forman un diptongo, carácter que por lo general se pronuncia /h/.

El Lojban se escribe todo con letras minúsculas, es decir que las oraciones no empiezan con mayúscula. Sin embargo, se utilizan mayúsculas para indicar acentuaciones de las palabras que escapan de la norma. Las letras en Lojban y sus respectivas pronunciaciones se muestran en la siguiente tabla. Los símbolos AFI sin paréntesis muestran las pronunciaciones preferidas (las otras son similares).

consonantes vocales caracteres auxiliares

representación AFI b ʃ (ʂ) d f (ɸ) g ʒ (ʐ) k l (ɭ) m (ɱ) n (ɳ,ɲ,ŋ) p r ɾ,ɹ,ʀ s t v (β) x z a (ɑ) e (ɛ) i o (ɔ) u ə h (θ) ʔ ,

carácter latino b c d f g j k l m n p r s t v x z a e i o u y ' . ,

carácter cirílico б ш д ф г ж к л м н п р с т в х з а е и о у ъ ' . ,

En el caso de la "r" no hay un sonido preferido, cualquier sonido rótico es igualmente aceptable

En principio, puede haber muchos más sistemas ortográficos siempre que satisfagan las inambigüedades requeridas. Algunas de las razones para esta flexibilidad serían las siguientes:



1.El Lojban está definido por sus fonemas, por lo tanto, un sistema de representación puede ser apropiado para representar el Lojban siempre que se asignen sus símbolos de tal manera que se mantenga el isomorfismo audiovisual.

1.El Lojban pretende lo más culturalmente neutro que sea posible, por lo tanto, no es crucial elegir ningún sistema de representación particular (por ejemplo, el alfabeto latino). Algunos lojbanparlantes han extendido esta noción hasta afirmar que se debe buscar un sistema nativo para el lenguaje.


 Bibliografía

Cowan, John Woldemar. 1997. The Complete Lojban Language. Logical Language Group. Fairfax, Va. ISBN 0-9660283-0-9. Versión del borrado (en inglés)

Nicholas, Nick y John Cowan (editores). 2003. What is Lojban? / .i la lojban. mo. ISBN 0-9660283-1-7 [1]

Turner, Nicholas y Nick Nicholas. Lojban For Beginners — velcli befi la lojban. bei loi co'a cilre [2] (en inglés)