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Claudio Conforti

martes, 29 de septiembre de 2009

Consecuencia lógica

Consecuencia lógica, características y problemas.
Claudio Conforti
Claudio Alessio


1. Presentación.

Hay algunos fragmentos del discurso con los que pretendemos justificar oraciones a partir de otras... esto es lo que denominamos argumentos, los cuales son todo discurso que partiendo de una o mas oraciones llamadas premisas se intenta justificar y llegar a otra llamada conclusión. Ahora, no porque hayamos justificado en una o varias oraciones una oración quiere decir que estemos en presencia de una justificación correcta.

A este fin podemos decir que el estudioso de la lógica se dedica, ha determinar cuando estamos en presencia de argumentos que hemos de considerar “buenos” y cuando estamos en presencia de aquellos que hemos de considerar “malos”.

A la hora de establecer la importancia y relevancia de esta exposición, podemos pensar que para la posibilidad de un proyecto humano verdaderamente humano, es necesario que sea acompañado de razonabilidad... muchas veces podemos pensar e incluso afirmar que la lógica no puede contribuir en mucho a tan magna empresa... a ello se deben dedicar otras disciplinas o ciencias... pero justamente.... la razonabilidad debe estar asegurada por ciertos principios o criterios estables que justifiquen verdaderamente nuestras afirmaciones en demostraciones...

Es increíble la cantidad de “científicos” que desarrollan grandes explicaciones o afirmaciones y negaciones extensísimas pero que nunca “hacen razonamientos”... hemos perdido la capacidad de argumentar... hemos permitido que la doxa -que en categorías actuales podríamos llamar opinología- se introduzca en los discursos científicos y que millares de publicaciones o congresos sea solo una circulación de opiniones fundadas en el gusto, los intereses políticos, económicos, y no en la verdad... entre tantas y tantas cosas que podríamos decir...

Por esto reflexionar en torno a la argumentación y a la propiedad que determina que un argumento es consecuente, a saber, la noción de consecuencia lógica, es tarea necesaria y hasta podríamos decir un deber que nos exige el repensar el proyecto humano.

El desastre que puede ocasionar un proyecto humano sin argumentos es verdaderamente lamentable... el creer que algunos enunciados ideológicos sean portadores de verdad es una falacia tan actual que muchas actividades se justifican en ellos.... Además observamos una cultura escolar y universitaria cada vez más perezosa que no tiene muchas intenciones en promover y desarrollar una actitud crítica ante la realidad sino y más bien colaboran al desarrollo de una actitud de la sola opinión... del seudo pensamiento... de la pseudafilosofia que se desarrolla por las emociones que suscitan ciertos eslóganes intelectuales que se dicen para ser “comprados” y no para ser pensados... Es en este contexto que nos parece oportuno el reflexionar en torno a la noción de consecuencia lógica.













2. La propiedad de los argumentos.

Cuando comenzamos a desarrollar o tratar de desentrañar la noción de consecuencia lógica se hace preciso establecer primero que no cualquier discurso o fragmento de discurso es un argumento. Es decir que la primera pregunta con la que nos hemos de encontrar tienen que ver con establecer a que tipo de discurso es aplicable y en que condiciones la noción de consecuencia lógica.

En primer lugar diremos que un argumento es un conjunto de enunciados en los cuales hay uno que se pretende justificar en los anteriores. Como vemos, no es un conjunto de oraciones, sino de enunciados que sería aquel discurso que posee la propiedad de ser o bien verdadero o bien falso. Esto elimina la posibilidad de concebir argumentos que se pretenden tales que tratan de justificar oraciones directivas o expresivas y no declarativas.

Una vez que contamos con una noción amplía y general de argumento decimos que estos pueden ser clasificados en deductivos y no-deductivos. La lógica formal se dedica a estudiar la los primeros. Además estos tiene una propiedad peculiar... algunos pueden partir de enunciados verdaderos y llegan a otro llamado conclusión que es falso... otros parten de verdades y es imposible que concluyan falsamente.

De este modo podemos clasificarlos a su vez en argumentos que se denominan válidos y argumentos que se denominan inválidos. La conclusión de los primeros, se dice en vocabulario técnico, es consecuencia lógica de las premisas. A tal fin la lógica analiza y desarrolla un lenguaje apto para el análisis correspondiente de esta noción, un lenguaje formal con métodos sistemáticos de desición.

A continuación expondremos dos enfoques con respecto a esta noción, que para la lógica es de vital importancia, de hecho, la lógica se define como la ciencia de la consecuencia lógica.


3. Noción de Consecuencia Lógica.

Tratemos primero de introducir una noción general de consecuencia lógica. Dado un argumento cualquiera, en el que tenemos a 1, ... n como premisas y a  como conclusión, y si aceptar a las premisas nos compromete a aceptar la conclusión 1, ... n /  entonces decimos que estamos en presencia de un argumento válido y que  es una consecuencia lógica de 1, ... n .

¿Pero qué implica o como se define una noción de consecuencia lógica? ¿Cómo sabemos que la hay y como sabemos que no. Esta dependerá de su contenido, la “carne” del argumento...? ¿Bastará solo con la forma, con el “esqueleto” del argumento?


3.1. Enfoque semántico.

Siguiendo el camino anterior, que transita las huellas de la tradición del arte de pensar, puede llegarse a una de las caracterizaciones más representativas de la visión actual frente a la cuestión de la identificación temática de la lógica: El enfoque semántico de la noción de consecuencia.

Por una inferencia se entenderá desde ahora a un conjunto de enunciados, de un lenguaje previamente especificado, en el que la verdad de uno de ellos (la conclusión de la inferencia) se pretende justificar en la verdad de los otros (las premisas de la inferencia). La inferencia será buena (válida) cuando la conclusión sea consecuencia necesaria de las premisas, o lo que es lo mismo, cuando las premisas impliquen lógicamente la conclusión. Esta idea puede resumirse en cualquiera de las siguientes dos definiciones intuitivas que servirán como punto de partida para lograr otras técnicamente más precisas:

Def. 1.O Un enunciado C es consecuencia del conjunto de premisas P1... Pn si y sólo si es imposible que las premisas P1... Pn sean todas verdaderas y la conclusión C no lo sea, o equivalentemente:

Def. 1.1 Un enunciado C es consecuencia del conjunto de premisas P1... Pn si y sólo si es necesario que si todas las premisas son verdaderas la conclusión también lo sea.

Es claro que cuando se cumple la condición expuesta, la verdad de las premisas justifica la verdad de la conclusión, es decir se cumple la finalidad, considerada por la lógica en todo proceso (psicológico) argumentativo, de preservar en la conclusión la verdad de las premisas.

Con lo dicho anteriormente, nos damos cuenta que hay algunas expresiones que se relacionan estrechamente a la noción de consecuencia lógica (semántica) como lo son: Verdad y falsedad y las nociones modales de imposibilidad y necesidad, por ello a continuación desarrollaremos estos conceptos a fin de tener una claridad mas pormenorizada de esta noción.


3.1.1. Verdad y Falsedad Según Tarski (1935)

En el enfoque Tarskiano verdad y falsedad son calificaciones hechas en el metalenguaje que versa acerca de las expresiones de un lenguaje (objeto) L a los enunciados L. En este enfoque los portadores de la verdad son expresiones lingüísticas (los enunciados del lenguaje objeto L). No son estados psicológicos ni el significado (proposiciones) de tales expresiones lingüísticas. Sin embargo para que pueda atribuirse un valor de verdad a un enunciado éste tiene que estar interpretado a través de alguna correlación (explicitada en la parte semántica del metalenguaje) de algunas de sus expresiones con las entidades de la realidad acerca de las cuales versa el lenguaje objeto L.

Tarski considera que por las peculiares características de los lenguajes naturales, ninguno admite una noción de interpretación con el grado de precisión que se requiere para dar una explicación coherente y satisfactoria de la noción de verdad. Por esta razón, su construcción está referida siempre a un lenguaje artificialmente creado, en donde –supuestamente- no existen las imprecisiones sintácticas y semánticas de los lenguajes naturales.

Supongamos un lenguaje artificial L con la siguiente estructura sintáctica:

1. Nombres: a1... an...
2. Predicados (monádicos): P1... Pn
3. Signos Lógicos: ¬ (negación)  (conjunción)  (disyunción incluyente)  (condicional material)
4. Signos de puntuación: ( )

Los enunciados de L serán secuencias de signos de L (expresiones de L) que satisfacen alguna de las siguientes cláusulas:
Cláusulas de formación de enunciados

1. Enunciados Atómicos: si P es un predicado de L y a es un nombre de L, entonces Pa es un enunciado atómico de L.

2. Enunciados Moleculares: Si A y B son enunciados de L, entonces ¬A, (AB), (AB) y (AB) son enunciados moleculares de L.


Las cláusulas anteriores para la formación de enunciados, especifican cuáles son las expresiones de L que son enunciados, pero nada dicen acerca del significado (correspondencia con la realidad) de ninguna de las expresiones de nuestro lenguaje objeto. Para este último propósito contamos en el metalenguaje con funciones de interpretación | |i donde cada una correlaciona cada uno de los nombres del lenguaje con un objeto y sólo uno de la realidad y cada uno de los predicados de L con una clase de objetos de la realidad y sólo una.


 Si a es un nombre, | a |i es el objeto nombrado por a en la interpretación | |i

 Si P es un predicado, | P |i es el conjunto de los objetos denotados por el predicado (extensión de P) en la interpretación | |i

Con estos elementos estamos en condiciones de especificar las condiciones en que son verdaderas cada una de las interpretaciones de L (con relación a cada una de las funciones de interpretativas | |i del metalenguaje de L). Para lo cual contamos con las siguientes cláusulas de interpretación veritativa:

1. Un enunciado atómico Pa es verdadero en la interpretación | |i si y sólo si | a |i Є | P |i (El objeto asignado al nombre “a” en la interpretación | |i es uno de los elementos de la clase asignada al predicado “P” por esa misma interpretación).
2. ¬A es verdad en | |i si y sólo si A no es verdad en | |i
3. (AB) es verdad en | |i si y sólo si tanto A como B son verdad en | |i
4. (AB) es verdad en | |i si y sólo si A, B o ambas son verdad en | |i
5. (AB) es verdad en | |i si y sólo si A no es verdad en | |i o B es verdad en | |i

A partir de las funciones de interpretación expuestas pueden ser reconstruidas las nociones de necesidad e imposibilidad que caracterizan la noción semántica de consecuencia lógica y hacer una precisación con respecto a las primeras definiciones :

Def. 2.0 Un enunciado A de L es consecuencia semántica del conjunto de enunciados α de L (premisas), que abreviamos: α╞ A si y sólo si no hay una función de interpretación | |i admisible de L (imposibilidad) en la que todos los enunciados de α sean verdaderos y en la que A no lo es.

Def. 2.1 Un enunciado A de L es consecuencia semántica del conjunto de enunciados α de L (premisas), que abreviamos: α╞ A si y sólo si A es verdadera en toda interpretación admisible | |i de L (necesidad) en la que son verdaderos todos los enunciados de α.

La presente relación ╞ de consecuencia semántica cumple con las siguientes propiedades (de fácil verificación a partir de las definiciones anteriores):

╞1 Reflexividad Generalizada: α╞A si A Є α.

╞2 Monotonía: Si a ╞ A entonces α U {B} ╞ A

╞3 Corte: Si α ╞ B y αU{B} ╞ A entonces a ╞ A

La primera, reflexividad generalizada, establece que un enunciado cualquiera A es consecuencia semántica de un conjunto de enunciados α si y solo si toda interpretación que hace verdaderas a las oraciones de α hace verdadera a la oración A.

La segunda, monotonía, establece que si A se deduce semántica de α ya que toda interpretación que hace verdadera a α hace también verdadera a A, entonces si, se le incorpora un nuevo enunciado (y para incorporarse necesita también contener la propiedad de reflexibilidad) entonces A se sigue deduciendo semánticamente de α

La tercera, un enunciado B se deduce semánticamente de α y A se deduce semánticamente de un conjunto de enunciados α al que se incorpora un nuevo enunciado B, entonces A se deduce semánticamente de α. Si toda interpretación que hace verdadera al conjunto α en unión con el nuevo enunciado B hace también verdadera a A.

Ninguna de estas propiedades dependen de las específicas cláusulas de interpretación veritativa a que se encuentra sujeta en el ejemplo anterior la noción de verdad. Cada una de esas propiedades puede probarse recurriendo solo a (Def. 2.0) o a su equivalente (Def. 2.1).

La noción de verdad lógica queda como el caso limite de la relación de consecuencia semántica en el que el conjunto de premisas es vació. Un enunciado A expresa una verdad lógica: ╞ A (abreviatura de Φ╞ A) Si y sólo si A es verdadero en todas las interpretaciones | |i admisibles de L. A su vez, si el lenguaje cuenta con el signo  de implicación material que satisface la cláusula (5) la noción de consecuencia semántica es caracterizable a partir de la noción de verdad lógica. En efecto, es fácil verificar el siguiente enunciado metalingüístico de la correlación entre las nociones de consecuencia semántica y de verdad lógica, para el caso en que el conjunto de premisas α no sea vacío (que es el caso diferencial entre ambas nociones) y la relación ╞ sea compacta (será compacta sii α ╞ A entonces A es consecuencia semántica de un subconjunto finito β de α β╞ A):

α ╞ A si y sólo si hay en α un conjunto finito de enunciados A1... An tal que ╞ ((A1 (A2 ... (An A) ...).

Con estos elementos se constituye el, actualmente mas dominante, enfoque en cuanto a la identificación temática de la lógica. Esta propuesta podría llamarse el paradigma Tarski-Carnap, ya que si bien se debe a Tarski tanto la noción semántica de verdad como la caracterización de la noción semántica de consecuencia e, indirectamente la noción de verdad lógica, fue Carnap quién enfatizó la identificación de la lógica como la teorización de esa noción de consecuencia semántica y de verdad lógica.


3. 2. ENFOQUE SINTÁCTICO

Los métodos sintácticos consisten en derivar o deducir una conclusión, a partir de unos principios o unas premisas dadas. Un razonamiento es, así, válido si la conclusión se ha derivado o deducido correctamente de sus principios o premisas mediante reglas; la validez se entiende ahora como deducibilidad. En los métodos semánticos, razonamiento válido es aquel que no admite la posibilidad de que sus premisas sean verdaderas y la conclusión falsa; en los métodos sintácticos es aquel cuya conclusión se ha demostrado, derivado o deducido correctamente de principios o premisas (hipótesis). Lo cual se expresa mediante el siguiente secuente sintáctico: que se lee «B es demostrable a partir de principios o premisas», o «B es respecto de otra u otras. Si el conjunto de premisas es el conjunto vacío, entonces y, en este caso, B es un teorema de la lógica. El teorema de la deducción (Herbrand, 1930) establece que de modo que, si B se deduce formalmente a partir de un conjunto de premisas, entonces la implicación que forman estas premisas y la conclusión B constituyen una fórmula universalmente válida.

La siguiente es posiblemente la definición más simple de la noción sintáctica (metalingüística) de consecuencia (que Carnap llamó relación de deducibilidad)

Def. 3.0 Un enunciado A del lenguaje L es una consecuencia sintáctica del conjunto α de enunciados de L, que abreviamos por α├A, si y sólo si hay en L una secuencia finita A1 ... An de enunciados de L , tal que An = A y cada uno de los Ai de la secuencia es o bien un axioma de L o es un elemento de α o bien se sigue de enunciados que le preceden en la secuencia en función de las reglas primitivas de inferencia L o es un elemento de α o bien se sigue de enunciados que le preceden en la secuencia en función de las reglas primitivas de inferencia de L.

En la definición anterior se entiende por axioma a todo enunciado del lenguaje L, que por expresar lo que intuitivamente sería una verdad lógica de L que expresa la ley del modus ponens, que puede introducirse en cualquiera de las secuencias que constituyen una derivación. Por regla [primitiva] de inferencia se entiende a toda cláusula condicional del metalenguaje de L que es la conclusión de la regla si en la parte precedente de la derivación se encuentran el, o los enunciados que figuran como premisas de la regla. Así por ejemplo la regla del modus ponens de (AB) y A se sigue B, que no es, como la anterior ley del modus ponens, un enunciado condicional del lenguaje sino un enunciado condicional del metalenguaje de L que permite introducir la conclusión de B en toda derivación en la que figuren previamente tanto el enunciado (AB) como el enunciado A.

A partir de la definición antes dicha es posible establecer que habrá consecuencia sintáctica cuando cumpla con las siguientes propiedades:


├1 Reflexividad Generalizada: α├A si A Є α.

├2 Corte: Si α ├B y αU{B} ├ A entonces a ├ A

├3 Monotonía: Si a ├ A entonces αUβ ├ A

Conviene destacar que todas estas propiedades las cumple toda noción de consecuencia sintáctica cualquiera sea el conjunto de axiomas y el conjunto de reglas primitivas de inferencia seleccionados para identificarla (aunque tales conjuntos sean vacíos). Además podemos notar que la noción de consecuencia sintáctica se encuentra estrechamente ligada a las nociones de axioma y regla primitiva de inferencia, ya que la verdad de una afirmación sintáctica de consecuencia depende de cuáles sean los enunciados elegidos como axiomas y cuales como reglas primitivas de inferencias.

En suma podemos establecer que este enfoque define a la lógica como la ciencia que establecerá las reglas de inferencia que permiten deducir un enunciado (teorema) de otros ya dados (axiomas).


4. Noción de consecuencia lógica para-el-sistema.

Con las definiciones de consecuencia lógica que hemos presentado, nos hemos acercado bastante a lo que esta es,. Hemos visto que las definiciones dicen: “será consecuencia de L....” pero, es necesario hacer cierta salvedad, que puede parecer redundante, aunque para nosotros es importante

Esto nos muestra que las definiciones han de ser precisadas y particularizadas al sistema que pretenda analizar los esquemas de argumento, es decir, si bien una noción de consecuencia lógica en general nos arroja los elementos mas importante para considerar la validez o invalidez de un esquemas de argumento dado, es necesario destacar que dependiendo de la estructura de argumento a considerar será el sistema lógico que utilizaremos, ya que hay esquemas de argumentos inválidos para algunos sistemas que para otros, por considerar mas elementos que intervienen en su validez, no lo son.

De este modo por ejemplo podemos tener el siguiente:

Todos los hombres son mortales.
Sócrates es hombre.
Sócrates es mortal.

Si nuestro interés será considerar la validez de este esquema a partir de las conectivas lo haremos desde la lógica proposicional... pero evidentemente esta estructura será “inválida” y estaremos tentados a pensar que no hay consecuencia lógica, y la precisión es que no hay consecuencia lógica para este sistema formal. De este modo evidenciamos que la noción de consecuencia lógica se encuentra particularizada o por lo menos limitada por el lenguaje formal que hayamos optado, esto es: una consecuencia lógica para-el-sistema. Por ejemplo:

Para el caso de las nociones de consecuencia lógica para la lógica de predicados:

Def. a. Un modelo M es apropiado para un esquema de argumento 1,..., n / si todas las letras de predicado, constantes y símbolos de funciones que aparecen en 1,..., n o en  están interpretados en M.

Def. b. 1,..., n / es válido si para todo modelo M apropiado para 1,..., n ╞  se cumple que V m(1)=...= V m ( n)= 1, entonces se cumple que VM () = 1.




Y para el caso de la consecuencia lógica para la lógica proposicional:

Def. c. Para formulas1,...,n / de la lógica proposicional, se cumple que 1,..., n ╞  sólo en caso que para toda valuación V tal que V m(1)=...= V m ( n)= 1, se cumple que VM () = 1.


Esto inserta en la consideración de la noción de consecuencia lógica lo que denominamos el primer problema, ya que esto hace preguntarnos acerca de las condiciones de validez, vale decir, qué es lo que hace que un esquema de argumento parta de verdad y sea imposible llegar a la falsedad.

Dependiendo del análisis al que sometamos el lenguaje formal, los resultados serán distintos aunque, a veces, complementarios. Cada lenguaje nos establecerá constantes necesarias para la consideración de la posibilidad o no posibilidad de pasar de las premisas a la conclusión válidamente.

Esto evidencia otro problema, el de la abstracción. Justamente la lógica clásica cuenta con un lenguaje formal a fin de evitar la ambigüedad del lenguaje natural, pero en ciertas ocasiones nos encontramos con algunos argumentos que no podemos traspasar directamente al esquema que consideramos semejante, ya que algunas expresiones del lenguaje natural son generalizadas en el lenguaje formal y puede ser que el uso que le estemos dando no sea radicalmente equivalente en el lenguaje natural como en el formal y a su vez estas expresiones, puede ser de vital importancia para la afirmación de la conclusión en los argumentos informales. De hecho esto equivale a dos problemas, primero, las competencias del lógico, y segundo que el lenguaje formal sea lo suficientemente completo como para poder expresar formalmente lo dicho en el lenguaje natural.

Con respecto a las competencias del lógico es evidentemente un problema de conocimientos pero con respecto a lo segundo consideramos que plantea una problemática interesante a la lógica clásica.
Así, los cuestionamientos que podemos hacer, tendrán que ver con que si el lenguaje formal permite representar todos los esquemas de argumento que utilizamos en la cotidianeidad... Vale decir, si los sistemas formales con los que contamos pueden establecer para todos los argumentos la condición de validez... Este objetivo, ha hecho suscitar un sin número de (nuevos) sistemas formales que consideran a algunos elementos como relevantes en la consideración de la validez, lo cual arroja una cantidad mayor de problemas... Con la lógica porposicional podíamos decir que las condiciones de validez o mejor dicho para que haya consecuencia lógica depende de las conectivas; la lógica cuantificacional nos dirá además que esta depende de los cuantificadores y así una gran cantidad de lógicas establecerán otras constantes que interfieren en la condición para que un argumento válido garantice la verdad en toda interpretación...


5. ¿La Lógica es revisable?

“...Ningún enunciado es inmune a revisión.
Incluso se ha propuesto la revisión
de la ley del tercero excluido como un medio de simplificar la mecánica cuántica;
y ¿qué diferencia hay, en principio, entre un cambio tal y
el cambio por el que Kepler desbancó a Ptolomeo,
o Einstein a Newton, o Darwin a Aristóteles? (Quine, 1951)

Hasta aquí, se evidencia un problema epistemológico interesante: la lógica es revisable... la lógica clásica puede ser sometida a ejemplos o casos en los que esa resulta incompleta y que por tanto no nos sirve para todos los esquemas de argumento... Pero no sólo el lenguaje formal de la lógica clásica es revisable.. hay alunas propiedades y principios de esta que constituyen la base deductiva que también -y al parecer de hecho sucede- es revisable....


Es interesante además... preguntarse si los supuestos de las definiciones de validez de lógica clásica tal como las entendemos también son revisables.... ya que los argumentos válidos son definidos por la verdad de sus componentes... deja fuera otro tipos de oraciones... como oraciones interrogativas y directivas.... además se establece un importante problema de que hemos de entender por verdad... es correspondencia con la realidad, con el lenguaje, con los objetos con los hechos, es interpretación, es creencia... esto puede ocasionar algún inconveniente a la noción de consecuencia? (De este modo podemos preguntarnos si lo que consideramos como argumento o proposiciones son nociones revisables.)

Ahora: un punto muy interesante... aceptamos de hecho que la lógica es revisable... desde el mismo momento en que se comenzó a sistematizar la lógica clásica se encentran muchos cuestionamientos y revisaciones... pero lo revisado también es revisable... no todo lo propuesto como resultado de revisión es correcto....

¿Será posible el repensar un lógica que albergue dentro de sí lógicas que particularizan la noción de consecuencia lógica...? ¿será posible realizar un replanteo en la lógica formal tal y como hoy se la entiende y proponer una más completa... menos incuestionable pero más efectiva...? ¿la lógica también está condenada a experimentar las condiciones de incertidumbre a la que todas las ciencia se encentran destinadas...? ¿Podremos contar con un análisis formal tal que nos permita determinar todas y cada una de las condiciones que determinan la noción de consecuencia lógica? ¿la lógica clásica es revisable y las revisiones de lo revisable de la lógica clásica a su vez es revisable?

Todos estos interrogantes son propuestos para el desarrollo de una filosofía de la lógica audaz y crítica que incorpore nociones matemáticas... de inteligencia artificial y de filosofía del lenguaje entre oros para resolver este sin número de problemáticas que hemos tratado de manifestar aquí...

En fin de cuenta es una propuesta de actitud crítica a la lógica en general, no se trata sólo de criticar la lógica clásica que es necesario realizarlo, ampliando su lenguaje o base deductiva, pero también es preciso criticar las críticas que cada uno hace de esta... vale decir: “Que hechos concebibles admitiría como refutaciones o falsificaciones de mi teoría?” (Popper, 1977)


5. Bibliografía consultada.

 ALCHURRON, Carlos. Lógica. En Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía. T. VII. Ed. Trotta. Madrid. 1995.

 GAMUT, L.T.F. Introducción a la lógica. Ed. Eudeba. Bs. As. 2006.

 HAACKS, Susan. Filosofía de las lógicas. Ed. Cátedra. Madrid. 1991.

 PALAU. Gladys. Introducción filosófica a las lógicas no-clásicas. Ed. Gedisa. Barcelona. 2002.

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